习题课——三角恒等变换课后训练巩固提升A组1.已知sinα-cosα=65,则sin2α=()A.-1425B.-1125C.1125D.1425解析:因为sinα-cosα=65,所以(sinα-cosα)2=3625,即sin2α+cos2α-2sinαcosα=3625,即1-sin2α=3625.所以sin2α=-1125.答案:B2.函数f(x)=2sinx2sinx2+cosx2-1的最小正周期为()A.π2B.πC.2πD.4π解析:由题意可知f(x)=2sinx2sinx2+cosx2-1=|sinx-cosx|=2sinx-π4.结合函数f(x)=2sinx-π4的图象,可得函数f(x)的最小正周期为π,故选B.答案:B3.已知sin2α=23,则cos2α+π4等于()A.16B.13C.12D.23解析:因为cos2α+π4=1+cos2α+π42=1+cos2α+π22=1-sin2α2=1-232=16,所以选A.答案:A4.函数y=cos2x-π12+sin2x+π12-1是()A.周期为2π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的偶函数解析:∵y=cos2x-π12+sin2x+π12-1=1+cos2x-π62+1-cos2x+π62-1=cos2x-π6-cos2x+π62=cos2xcosπ6+sin2xsinπ6-cos2xcosπ6+sin2xsinπ62=sin2x2,∴函数的周期为2π2=π,且sin(-2x)=-sin2x.故选C.答案:C5.若函数f(x)=12cosωx-32sinωx(ω>0)在区间[0,π]内的值域为-1,12,则ω的取值范围为()A.23,43B.0,43C.0,23D.(0,1]解析:由题意可知f(x)=12cosωx-32sinωx=cosωx+π3,且ω>0,当x∈[0,π]时,f(x)∈-1,12,故-1≤cosωx+π3≤12,可得π≤ωx+π3≤5π3,解得23≤ω≤43,故ω的取值范围为23,43.答案:A6.已知a=22(sin16°+cos16°),b=2cos214°-1,c=sin37°·sin67°+sin53°·sin23°,则a,b,c的大小关系为.解析:∵a=cos45°sin16°+sin45°cos16°=sin61°,b=cos28°=sin62°,c=sin37°cos23°+cos37°sin23°=sin60°,又函数y=sinx在区间0,π2内单调递增,∴c<a<b.答案:c<a<b7.sin250°1+sin10°=.解析:sin250°1+sin10°=1-cos100°2(1+sin10°)=1-cos(90°+10°)2(1+sin10°)=1+sin10°2(1+sin10°)=12.答案:128.已知函数f(x)=acosπ2-x-cos2x,其中a>0,(1)比较fπ6和fπ2的大小;(2)求函数f(x)在区间-π2,π2上的最小值.解:(1)因为fπ6=a2-12,fπ2=a+1,所以fπ2-fπ6=(a+1)-a2-12=a2+32.因为a>0,所以a2+32>0,所以fπ2>fπ6.(2)因为f(x)=asinx-cos2x=asinx-(1-2sin2x)=2sin2x+asinx-1,设t=sinx,x∈-π2,π2,所以y=2t2+at-1,t∈[-1,1],其图象的对称轴为直线t=-a4.当t=-a4<-1,即a>4时,在t=-1时函数y取得最小值1-a;当t=-a4≥-1,即0<a≤4时,在t=-a4时函数y取得最小值-a28-1.综上可知,当a>4时,函数f(x)在区间-π2,π2上的最小值为1-a;当0<a≤4时,函数f(x)在区间-π2,π2上的最小值为-a28-1.9.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的始边均为x轴正半轴,终边分别与圆O交于A,B两点.若α∈7π12,π,β=π12,且点A的坐标为(-1,m).(1)若tan2α=-43,求实数m的值;(2)若tan∠AOB=-34,求sin2α的值.解:(1)由题意可得tan2α=2tanα1-tan2α=-43,解得tanα=-12或tanα=2.∵α∈7π12,π,∴tanα=-12.又角α的终边与圆O交于点A(-1,m),∴tanα=m-1,即m-1=-12.∴m=12.(2)∵tan∠AOB=tan(α-β)=tanα-π12=sinα-π12cosα-π12=-34,又sin2α-π12+cos2α-π12=1,α-π1