http://cooco.net.cn永久免费在线组卷课件教案下载无需注册和点数http://cooco.net.cn永久免费在线组卷课件教案下载无需注册和点数第七讲含绝对值的方程及不等式从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零之外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；(3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要留意所划分的类别之间该当不重、不漏．下面结合例题予以分析．例1解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．分析解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零掉绝对值符号再求解．解(1)当x≥2时，原方程化为(x-2)+(2x+1)=7，-(x-2)+(2x+1)=7．应舍去．-(x-2)-(2x+1)=7．说明若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．例2求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．｜x-(2x+1)｜=3，即｜1+x｜=3，所以x=2或x=-4．｜x+(2x+1)｜=3，即｜3x+1｜=3，的个数为2．例3若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少？解若a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知｜x-2｜-1=±a，所以｜x-2｜=1±a．(1)若a＞1，则｜x-2｜=1-a＜0，无解．｜x-2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a和x=1-a．(2)若0≤a≤1，则由｜x-2｜=1+a，求得x=1-a或x=3+a；由｜x-2｜=1-a，求得x=1+a或x=3-a．原方程的解为x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只需两个解，与题设不符，所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．综上可知，a=1．例4已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．解设x为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有a＞-1．反之，a＞-1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax＋1，即所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．例5设求x+y．分析从绝对值的意义知两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零．解由题设有把③代入①得解之得y=-3，所以x=4．故有x+y=4-3=1．例6解方程组分析与解由①得x-y=1或x-y=-1，即x=y+1或x=y-1．与②结合有下面两个方程组解(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得｜y+1｜+2｜y｜=3．组(Ⅰ)的解为同理，解(Ⅱ)有故原方程组的解为例7解方程组解由①得x+y=｜x-y｜+2．由于｜x-y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y．③把③代入②有x+y=x+2，所以y=2．将之代入①有｜x-2｜=x，所以x-2=x，④或x-2=-x．⑤④无解，所以只需解⑤得x=1．故为原方程组的解．说明本题若按通常的解法，区分x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．例8解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．＜x≤5，x＞5．-(x-5)-[-(2x+3)]＜1，-(x-5)-(2x+3)＜1，(3)当x＞5时，原不等式化为x-5-(2x+3)＜1，解之得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．的解．例9解不等式1≤｜3x-5｜≤2．分析与解此不等式实际上是解对｜3x-5｜≥1：对｜3x-5｜≤2：所以①与②的公共解应为