因果系统中式中ha(t)为系统的冲激响应，是实函数。∴不难看出定义振幅平方函数问题：由A(-S2)→Ha(S)设已知幅度平方函数A(Ω2)=,求对应的模拟系统传输函数Ha(s)S平面左半平面的2个极点和一个零点构成Ha(s),右半平面的2个极点和一个零点构成Ha(-s)。则：三种模拟低通滤波器的设计：1)巴特沃兹滤波器(Butterworth滤波器)(巴特沃兹逼近)特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f↗，幅频特性单调↘。其幅度平方函数：图1巴特沃兹滤波器振幅平方函数通带:使信号通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围Ωc：截止频率。过渡带为零，阻带|H(jΩ)|=0通带内幅度|H(jΩ)|=cons.，H(jΩ)的相位是线性的。图1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。通带内，分母Ω/Ωc<1,(Ω/Ωc)2N《1，A(Ω2)→1。过渡带和阻带，Ω/Ωc>1，(Ω/Ωc)2N》1,Ω增加，A(Ω2)快速减小。Ω=Ωc,，,幅度衰减，相当于3db衰减点。振幅平方函数的极点：令分母为零，得可见，Butterworth滤波器的幅度平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=Ωc的圆周上。考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点(SP3，SP4，SP5)组成的，它们分别为：令，得归一化的三阶BF：如果要还原的话，则有2)切比雪夫(chebyshev)滤波器(切比雪夫多项式逼近)(选讲)特点：误差值在规定的频段上等幅变化。巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次(N)很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的。1、引入原因图7切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A2(Ω)曲线切比雪夫滤波器的在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量(波动范围)提出要求，如要求波动范围小于1db。2、Chebyshev滤波器的种类（1）ChebyshevI型幅频特性和零极点图（N=3）（2）ChebyshevII型幅频特性和零极点图（N=3）振幅平方函数为—有效通带截止频率—与通带波纹有关的参量，大，波纹大。0<<1VN(x)—N阶切比雪夫多项式，定义为双曲余弦cosh(x)=Chebyshev多项式：（2）Chebyshev多项式图形N为偶数，，min，N为奇数，，max，如图1，通带内变化范围切比雪夫滤波器的振幅平方特性有关参数的确定:a、通带截止频率，预先给定b、由通带波纹表为给定通带波纹值分贝数后，可求。c、阶数N—由阻带的边界条件确定。(、A事先给定)图7切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A2(Ω)曲线