此文件下载后可以自行修改编辑删除探索三角形相似的若干思路山东房延华思路1已知角相等时，找两对对应角相等例1（2017▪杭州）如图1，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．图1解析：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°.∴∠AED+∠EAF＝90°，∠ACB+∠GAC＝90°．∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB.又∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC．（2）由已知，得AF是△ADE中DE边上的高，AG是△ABC中BC边上的高.由（1）得△ADE∽△ABC.∴＝=．思路2若只能找到一组对应角相等，判断相等的角的两边是否对应成比例例2如图2，在边长为a的正方形ABCD中，M是边AD的中点，在边AB上是否存在一点N（不含A，B），使得△CDM与△MAN相似？若存在，求出AN的长．图3CDMBAN解析：存在，当AN=a时，△CDM∽△△MAN．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠D=∠A=90°.∵M是边AD的中点，∴AM=DM=AD=a.又AN=a，∴==2.又∠D=∠A=90°，∴△CDM∽△MAN．例3如图3，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，连接FD，其中∠BFA＝90°，图中是否存在与△DEB相似的三角形？说明理由．BCDFGE图3A解析：△FED∽△DEB．理由如下：由已知，易得∠BAE＝∠AFE＝90°.∵∠AEF＝∠BEA，∴△AFE∽△BAE.∴＝．∵E为AD的中点，∴AE＝ED.∴＝.又∠DEF＝∠BED，∴△FED∽△DEB．思路3无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例例4如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由.图4解析：△ABC∽△DEF．根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5；DE=4，DF=2，EF=2.∴===.∴△ABC∽△DEF.思路4除此之外，也可考虑平行线分线段成比例的基本事实及相似三角形的“传递性”例5（2017▪桂林）如图5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA，交DB的延长线于点E.若AB=3，BC=4，则的值为_______.图5解析：如图5，过点B作BH⊥OA于点H.∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OB，∠ABC=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC==5.∴AO=OB=.由三角形的面积公式，可得BH•AC=AB•BC，解得BH==.在Rt△OBH中，由勾股定理可得OH==.∵EA⊥CA，∴BH∥AE.∴△OEA∽△OBH.∴==.