学时：第7章状态空间分析设计方法本章主要内容——现代控制论的重要分支：状态空间设计方法第一节线性系统的状态空间数学模型7.1.1系统状态空间表达的基本概念以完全表征系统的状态变量为元构成的向量就是状态向量7.1.2线性系统的状态空间描述（1）状态方程：输入作用引起系统状态发生变化，通常为动态过程，可以采用微分方程来表示：两种描述方式的比较：例1．考虑传递函数系统结构图：从状态空间的角度分析上述实现中主要变量的演变过程系统状态方程为7.1.3由机理分析建立状态空间表达式解：(1)弹簧-质量-阻尼器系统，外加拉力Fi为输入，质量单元的位移y为输出，根据牛顿第二定律可得:其中合力：整理得：选定变量：得到状态方程：(2)RLC电路，设ei为输入，电压ec为输出，根据基本电路定律有：选择状态变量为，可推导出2个一阶微分方程组：写成状态方程：再根据输出，可得相应的输出方程为：值得注意的是：状态变量选择的不同，得到的状态空间表达式也是不同的，这点与传递函数所代表的外部描述不同，对于一个系统，如果输入和输出确定，那么传递函数就是唯一确定的，而状态空间描述则根据状态变量选择的不同而不同，同一个系统可以具有不同的状态空间表达式。代数等价：给定一线性定常系统，如果引入一非奇异变换：其中P是非奇异矩阵，经过状态变换后，系统可以写成7.1.4由微分方程建立状态空间表达式Case1：当m<n时可以得到系统的状态空间描述：Case2：当m＝n时上述严格真有理分式按照上面的算法可以转换成状态空间形式，状态是一样的，得到的状态方程表达形式也是一样的，唯一不同的就是输出方程中比m<n情况多了一项：状态方程为：优点：利用控制系统的微分方程系数直接列写出系统的状态空间表达式。7.1.5由传递函数建立状态空间表达式例：求状态空间实现：消去传递函数中的可约因子(s+3)得：7.1.6状态空间表达式与传递函数矩阵U1在初始条件为零的情况下，系统状态矩阵(A,B,C,D)与传递函数矩阵之间的关系为：例考虑多输入多输出系统：num1=014num2=01.00005.000000-2501.0000-25.0000den1=1425den2=14257.2系统的状态空间运动分析线性系统满足叠加原理系统在初始状态及输入向量作用下的运动分解成两个独立的分运动：一个是无输入作用，单纯由初始状态引起的系统状态的自由运动，称为零输入响应；另外一个是初始状态为零的条件下，单纯由输入作用引起的状态强迫运动，称为零状态响应。系统由初始状态和输入共同作用而引起的整个响应是二者的叠加，即系统状态运动＝零输入响应＋零状态响应自由运动（无输入即u=0）就是系统在初始条件x0下的解，称为零输入响应。状态转移矩阵定义：状态转移矩阵的重要性质：求导可得：将积分，就可以求出待定向量在定常系统中，状态转移矩阵完全可以由系统矩阵(A,B,C,D)来确定，即如果将时间t取成某个固定的值，那么零输入响应，就是状态空间中由初始状态x0经过线性变换导出的一个变换点，而整个系统的自由运动就应该是由初始状态x0出发，并由各个时刻的变换点所组成的一条轨迹。这条自由运动轨迹的形态可以说是由状态转移矩阵唯一确定的，它包括了自由运动性质的全部信息，换句话说就是系统矩阵A决定了系统的自由运动形态。7.2.2矩阵指数函数注：矩阵A的转置矩阵AT也是幂零矩阵，它的左下角次对角线元为1，其余元均为零，它的矩阵指数函数具有如下性质：（4）约当矩阵其矩阵指数函数为：的计算方法（2）利用典型约当形矩阵的矩阵指数函数例如：A阵特征值是n个两两相异的，那么必存在一个非奇异变换矩阵P，使得(3)把表示成Ak（k＝0,1,…,n－1）的多项式形式，即Case2.A的特征根存在重根（4）利用Laplace反变换求，对定义式进行Laplace变换得：举例：给定线性定常系统的自治方程为试采用上述4种方法来求状态转移矩阵(2)先求出A的特征值为-1,-2，再求出使A实现对角线化的非奇异变换阵P及其逆P－1：（3）因为矩阵A的特征值是两两相异的，则有（4）先求出预解矩阵能控性和能观性是系统的两个基本结构特性，对于系统的控制和估计问题具有重要的意义。能控性反应的是输入对状态的控制能力能观性反应的是输出对状态的估计能力所谓能控性就是研究系统的全部状态是否都会受到输入的影响，从而实现对系统状态的控制。对应地，如果系统状态变量的任何运动完全可以由输出来反映，那么就称系统是能观测的，简称为能观性。例一．给定系统如下：例二：实际电路，两个电容的端电压x1和x2是状态变量，输入u可以使状态转移到任意目标值，但是不能将状态分别转移到不同的目标值，也就是说无论输入取为何种形式，对所有的t>0都有x1=x2，这就表明该电路系统