圆锥曲线的定义及其性质考点精析对圆锥曲线的定义的考查1.运用定义求解基本量例1(2009年高考北京卷)椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则，的小大为.解∵，∴.∴.∵，∴.在中，由余弦定理得.∴.小结本题主要考查了椭圆的标准方程及其定义.对于圆锥曲线中的有关基本量的求解问题，“回归定义”是一种重要的解题策略.根据方程研究性质，我们可把圆锥曲线方程化为标准方程，然后讨论曲线的顶点、焦点、焦距、渐进线和离心率等问题.2.运用定义求解焦点三角形问题例2(2009年高考上海卷)已知、是椭圆(＞＞0)的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=.解依题意有.整理得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9.解得b＝3.小结椭圆或双曲线上的点与两个焦点所构成的三角形，称为焦点三角形.在解焦点三角形有关的计算或证明问题时，我们通常采用正弦定理、余弦定理回归到定义来求解.在解题的过程中，通过变形得到或，这样便于运用曲线的定义，得到的关系，从而顺利打开解题的思路.3.运用定义求轨迹方程例3(2008年高考辽宁卷)在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为.(Ⅰ)写出C的方程；(Ⅱ)设直线与C交于A，B两点.k为何值时，？此时的值是多少？解(Ⅰ)设P点的坐标为(x，y)，由椭圆的定义，可知点P的轨迹C是以为焦点，2为长半轴长的椭圆.它的短半轴.故曲线C的方程为.(Ⅱ)略.小结用定义法求解轨迹方程时，应先充分挖掘图形的几何性质，看其是否符合某种曲线的定义，“定义法”求动点的轨迹方程是解析几何中解决点的轨迹问题常用且重要的方法.巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减少，从而提高解题的速度与准确率.4.运用定义求解最值与定值问题例4(2009年高考辽宁卷)已知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为.解注意到P点在双曲线的两支之间，且双曲线的右焦点为，于是由双曲线的定义可得，而，上述两式对应相加得.当且仅当A、P、三点共线时等号成立.故的最小值为9.小结本题若用常规方法解答，设动点P的坐标为(x，y)，左焦点，则有，而要对这个式子求最小值，是比较困难的，即使点P的坐标能用双曲线方程表示出来，求最小值时也是困难重重，因此如能用双曲线的定义，则问题可迎刃而解.对圆锥曲线的性质的考查1.对椭圆和双曲线中参数范围的考查例5(2005年高考上海卷)点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴的上方，.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.解(1)由已知可得点A的坐标为(－6，0)，点F的坐标为(0，4).设点P的坐标为(，)，则=(+6，)，=(－4，).由已知可得.整理得2+9－18=0.解得=或=－6.由于>0，所以=，于是可知=.故点P的坐标是(，).(2)直线AP的方程是－+6=0.设点M的坐标为(，0)，则点M到直线AP的距离是.于是有=.又－6≤≤6，解得=2.椭圆上的点(，)到点M的距离满足.由于－6≤≤6，所以当=时，d取得最小值.小结求圆锥曲线上的动点到某一点(线)距离的最值问题，常可设出动点的坐标(x，y)，用距离公式建立目标函数，然后根据曲线方程消元后进行求解.本题在转化为二次函数后，要注意其横坐标的隐含条件，即－≤≤，从而利用此条件求得最值.2.对椭圆和双曲线“”关系的考查例6(2008年春季高考上海卷)已知椭圆，长轴在轴上.若焦距为，则等于A.B.C.D.解由题意得且，于是有.由，有.解得.小结在圆锥曲线中，双曲线中的“”与椭圆中的“”既相似又有区别，其中椭圆中有，而双曲线中有.同学们一定要注意区分，千万不要弄混淆了.3.对圆锥曲线离心率及其范围的考查例7(2009年高考山东卷)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为A.B.5C.D.解据题意可知，双曲线的一条渐近线为.由方程组消去y，得.由于有唯一解，所以△=.于是有，即.选D.小结双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如等，树立基本量思想对于确定曲线方程和认识几何性质有很大帮助.4.对双曲线渐近线的考查例8(2009年高考天津卷)设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.解由已知得.由于双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为.选C.小结渐近线是双曲线所特有的，当双曲线的方程确定时，它的渐近线的方程也就确定了.但是如果已知双曲线的渐近线的方程，那么对应的双曲线就会有无数条.双曲线的渐近线的求法：以为例，将右边的“1”改为“0”，即得，分解因式整理得.