数字信号处理2.1引言我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换(FourierTransform)或拉普拉斯变换表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号（序列）表示，系统则用差分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换或Z变换表示。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号处理的理论基础。2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质时域离散信号不同于模拟信号，因此它们的傅里叶变换不相同，但都是线性变换，一些性质是相同的。2.2.1时域离散信号傅里叶变换的定义序列x(n)的傅里叶变换定义为p(t)数字频率FT为FourierTransform的缩写。FT［x(n)］存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：大家学习辛苦了，还是要坚持【例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线2.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质1．FT的周期性在定义（2.2.1）式中，n取整数，因此下式成立：图2.2.2cosωm的波形2．线性设X1(ejω)=FT［x1(n)］,X2(ejω)=FT［x2(n)］,那么3．时移与频移设X(ejω)=FT［x(n)］,那么4．FT的对称性在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称，以及它的性质。设序列xe(n)满足下式：将上式两边n用－n代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到：上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序列：5．时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n)则Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)（2.2.31）证明令k=n－m，则6．频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n)则交换积分与求和的次序，得到：7．帕斯维尔（Parseval）定理表2.2.1序列傅里叶变换的性质定理例2设计一如图数字低通滤波器求单位冲击响应设fs=2000Hz傅氏变换一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换离散时间傅里叶变换DTFT采样间隔0,1,….,N-1含义2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式因为周期序列不满足（2.2.2）式绝对可和的条件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，引入奇异函数δ(·)，其FT可以用公式表示出来。2.3.1周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，可以展成离散傅里叶级数。如下:(2.3.1)为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和，即式中(2.3.2)式的证明作为练习请读者自己证明。因此(2.3.3)式中，k和n均取整数。因为，l取整数,即是周期为N的周期函数，所以，系数ak也是周期序列，满足ak=ak+lN。令,并将(2.3.3)式代入，得到:(2.3.4)式中，也是以N为周期的周期序列,称为的离散傅里叶级数系数，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。用（2.3.6）式和（2.3.7）式称为一对DFS。（2.3.5）式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,,N－1,幅度为。基波分量的频率是2π/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS系数表示它的频谱分布规律。【例2.3.1】设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求DFS［］。解按照（2.3.6）式,有其幅度特性如图2.3.1(b)所示。图2.3.1例2.3.1图2.3.2周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中，，其傅里叶变换是在Ω=Ω0处的单位冲激函数，强度是2π，即r取整数因此的FT为(2.3.9)(2.3.9)式表示复指数序列的FT是在ω0+2πr处的单位冲激函数，强度为2π，如图2.3.2所示。但这种假定如果成立，则要求按照（2.2.4）式的逆变换必须存在，且唯一等于，下面进行验证。按照逆变换定义，（2.2.4）式右边观察图2.3.2，在－π~＋π区间，只包括一个单位冲激函数δ(ω－ω0)，等式右边为，因此得到下式：证明了（2.3.9）式确实是的FT，前面的暂时假定是正确的。图2.3.2的FT对于一般周期序列，按（2.3.6）式展成DFS，第k次谐波为，类似于复指数序列的FT，