专题升级训练24解答题专项训练(函数与导数)1．已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．2．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋eq\f(1,ax)＋b(a＞0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝eq\f(3,2)x，求a，b的值．3．已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝eq\f(2x,4x＋1).(1)求函数f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f(x)＝λ在(－1,1)上有实数解？4．某高新区引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元；每年企业销售收入500万元，设f(n)表示前n年的纯收入．(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；②纯利润最大时，以160万元出售该企业；问哪种方案最合算？5.已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)．(1)讨论f(x)＝ex－ax－1(a∈R)的单调性；(2)若a＝1，求证：当x≥0时，f(x)≥f(－x)．6．已知函数f(x)＝eq\f(ax,x2＋b)在x＝1处取得极值2，设函数y＝f(x)图象上任意一点(x0，f(x0))处的切线斜率为k.(1)求k的取值范围；(2)若对于任意0＜x1＜x2＜1，存在k，使得k＝eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)，求证：x1＜|x0|＜x2.7．已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋eq\f(1,2)x2.(1)求f(x)的解析式及单调区间；(2)若f(x)≥eq\f(1,2)x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．8．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a＞0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x＞0)．参考答案1．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，则f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，即2x－eq\f(a,x2)≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立，只需a≤(2x3)min，x∈[2，＋∞)，∴a≤16.∴a的取值范围是(－∞，16]．2．解：(1)f(x)＝ax＋eq\f(1,ax)＋b≥2eq\r(ax·\f(1,ax))＋b＝b＋2，当且仅当ax＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a)))时，f(x)取得最小值为b＋2.(2)由题意得：f(1)＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,a)＋b＝eq\f(3,2)，①f′(x)＝a－eq\f(1,ax2)f′(1)＝a－eq\f(1,a)＝eq\f(3,2)，②由①②得：a＝2，b＝－1.3．解：(1)∵f(x)是x∈R上的奇函数，∴f(0)＝0.设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，f(－x)＝eq\f(2－x,4－x＋1)＝eq\f(2x,4x＋1)＝－f(x)，∴f(x)＝－eq\f(2x,4x＋1)，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2x,4x＋1)，x∈(－1，0)，,0，x＝0,\f(2x,4x＋1)，x∈(0，1).))(2)设0＜x1＜x2＜1，f(x1)－f(x2)＝eq\f((2x1－2x2)＋(2x1＋2x2－2x2＋2x1),(4x1＋1)(4x2＋1))＝eq\f((2x1－2x2)(1－2x1＋x2),(4x1＋1)(4x2＋1))，∵0