专题集训9几何问题探究一、选择题1．如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝80°，点P是线段AB延长线上的一动点，连结PC，则∠APC的度数不可能的是(A)A．40°B．30°C．20°D．15°【解析】∠APC＝∠CBO－∠BCP，而∠CBO＝40°，故∠APC＜40°.,第1题图),第2题图)2．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连结DF，则下列结论中错误的是(D)A．△AEF∽△CABB．CF＝2AFC．DF＝DCD．tan∠CAD＝eq\r(2)【解析】AE＝ED＝eq\f(1,2)AD，△FEA～△FBC，由相似成比例知eq\f(FC,AF)＝eq\f(BC,AE)＝eq\f(2,1)，∴CF＝2AF，B正确．又AC⊥BE，∴△AEF～△CAB，A正确．连结EC，∵E为AD中点，∴EB＝EC，△EBC为等腰三角形，∴∠ECD＝∠EBA，∠ECB＝∠EBC＝∠AEF＝∠ACD，又△CFB～△CBA～△BFA，∴eq\f(FC,BC)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(BF,AB)＝eq\f(AB,BE)，而BE＝EC，AB＝DC，∴eq\f(FC,BC)＝eq\f(DC,EC)，∴△FDC∽△BEC，∴DF＝DC，C正确．二、填空题3．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是__∠ABD＝∠CBD或AD＝CD__．(只需写一个，不添加辅助线)4．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN分别交AB，BC于E、F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论中正确的是__(1)，(2)，(3)__．(1)EF＝eq\r(2)OE；(2)S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；(3)BE＋BF＝eq\r(2)OA；(4)在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝eq\f(3,4).【解析】(1)由四边形ABCD是正方形，直角∠MPN，易证得△BOE≌△COF(ASA)，则可证得结论；(2)由(1)易证得S四边形OEBF＝S△BOC＝eq\f(1,4)S正方形ABCD，则可证得结论；(3)由BE＝CF，可得BE＋BF＝BC，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE＋BF＝eq\r(2)OA；(4)首先设AE＝x，则BE＝CF＝1－x，BF＝x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；故答案为：(1)，(2)，(3)．三、解答题5．如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：△AOE≌△COF；(2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAO＝∠FCO，,OA＝OC，,∠AOE＝∠COF，))∴△AOE≌△COF(ASA)(2)EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；理由如下：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形6．已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC.(1)特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB__＝__EC.(填“＞”，“＜”或“＝”)(2)发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)到图2位置，则(1)中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．(3)拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB＝90°，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数．解：(2)成立．证明：由(1)易知AD＝AE，由旋转性质可知∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AE，,∠DAB＝∠EAC，,AB＝AC，))∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴DB＝CE(3)如图，将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连结PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE＝CP＝2，AE＝BP＝1，∠PCE＝90°，∴∠CEP＝∠CPE＝45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE＝2eq\r(2)，在△PEA中，PE2＝(2eq\r(2))2＝8，A