专题集训6最值问题一、选择题1．如图，⊙O的半径为1，点O到直线m的距离为2，点P是直线m上的一个动点，PB切⊙于点B，则PB的最小值是(B)A．1B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5),第1题图),第2题图)2．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为(C)A．1B．2C．3D．4【解析】作F点关于BD的对称点F′，则PF＝PF′，连结EF′交BD于点P.∴EP＋FP＝EP＋F′P.由两点之间线段最短可知：当E，P，F′在一条直线上时，EP＋FP的值最小，此时EP＋FP＝EP＋F′P＝EF′.∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，∵AF＝2，AE＝1，∴DF＝AE＝1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′＝AD＝3.∴EP＋FP的最小值为3.故选C.二、填空题3．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为__eq\r(17)__．【解析】在DC取点M，使DM＝BE＝1，易证△CEP≌△CMP，MP＝PE，即求PF＋PM最小值，当P移动到FM直线上时，既满足要求．作FN∥BC交DC于N.∴FM＝eq\r(FN2＋MN2)＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)，P即为MF与AC交点．,第3题图),第4题图)4．如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为__36eq\r(3)－54__．【解析】作P关于AO，BO的对称点C，D，连结CO，DO，CD.CD与AO，BO交点即为M，N.易知△ODC为正三角形，OP交CD于Q，∴OQ＝3eq\r(3)，PQ＝6－3eq\r(3)，设MQ＝x，则PM＝CM＝3－x，∴(3－x)2－x2＝(6－3eq\r(3))2，解得x＝6eq\r(3)－9.∴S△PMN＝eq\f(1,2)MN×PQ＝eq\f(1,2)×2(6eq\r(3)－9)×(6－3eq\r(3))＝eq\r(3)(6－3eq\r(3))2.∵S△COD＝eq\f(1,2)×3eq\r(3)×6＝9eq\r(3).∴SPMON＝eq\f(1,2)(S△COD＋S△PMN)＝eq\f(1,2)(72eq\r(3)－108)＝36eq\r(3)－54.三、解答题5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，－3)，动点P在抛物线上．(1)b＝__－2__，c＝__－3__；(2)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连结EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．解：(2)连结OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF.根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由(1)可知，在Rt△AOC中，∵OC＝OA＝3，OD⊥AC，∴D是AC的中点．又∵DF∥OC，∴DF＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(3,2).∴点P的纵坐标是－eq\f(3,2).则x2－2x－3＝－eq\f(3,2)，解得x＝eq\f(2±\r(10),2).∴当EF最短时，点P的坐标是：(eq\f(2＋\r(10),2)，－eq\f(3,2))或(eq\f(2－\r(10),2)，－eq\f(3,2))6．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．解：(1)由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD·tan∠DAM＝3×tan30°＝3×eq\f(\r(3),3)＝eq\r(3)(2)过点A作AH⊥BF于点H，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA＝∠BFC，∵∠AHB＝∠BCF＝90°，∴△ABH∽△BFC，∴eq\f(BH,AH)＝eq\f(CF,BC)，∵AH≤AN＝3，AB＝4，∴当点N，H重合(即AH＝AN)时，AH最大，