专题集训5折叠问题一、选择题1．如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(A)A．8cmB．5eq\r(2)cmC．5.5cmD．1cm【解析】纸片为长方形，折痕的最大长度为对角线长，eq\r(52＋62)＝eq\r(61)＜eq\r(64)＝8，所以折痕长不能为8cm.2．将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x＋b与此新图象的交点个数的情况有(B)A．6种B．5种C．4种D．3种二、填空题3．一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB.若C(eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2))，则该一次函数的解析式为__y＝－eq\r(3)x＋eq\r(3)__．【解析】连结OC，过点C作CD⊥x轴于点D，C(eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2))，则tan∠COD＝eq\f(CD,OD)＝eq\f(\r(3),3)，故∠COD＝30°，∴△BOC是等边三角形，则AC＝eq\f(DC,sin60°)＝1，故A(1，0)，sin30°＝eq\f(CD,CO)＝eq\f(\f(\r(3),2),CO)＝eq\f(1,2)，∴CO＝eq\r(3)，B点坐标为(0，eq\r(3))，∴直线AB的解析式为y＝－eq\r(3)x＋eq\r(3).4．如图，在矩形ABCD中，AD＝15，点E在边DC上，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G.如果AD＝3GD，那么DE＝__3eq\r(5)__．【解析】如图，过点F作AD的平行线交AB于M，交DC于N.因为AD＝15，当AD＝3GD时，MF＝AG＝10，FN＝GD＝5.在Rt△AMF中，AF＝AD＝15，MF＝10，所以AM＝5eq\r(5).设DE＝m，那么NE＝5eq\r(5)－m.由△AMF∽△FNE，得eq\f(AM,MF)＝eq\f(FN,NE)，即eq\f(5\r(5),10)＝eq\f(5,5\r(5)－m).解得m＝3eq\r(5).三、解答题5．如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝7.如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC＝∠ACD.如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED.求BE的长．解：设AE与BD交于点M，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴eq\f(CA,CB)＝eq\f(CD,AC)，∴eq\f(4,7)＝eq\f(CD,4)，∴CD＝eq\f(16,7)，BD＝BC－CD＝eq\f(33,7)，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(DM,DA)，即eq\f(\f(16,7),\f(33,7))＝eq\f(DM,\f(16,7))，∴DM＝eq\f(162,33×7)，MB＝BD－DM＝eq\f(332－162,7×33)，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴eq\f(AB,BM)＝eq\f(BD,BE)，∴BE＝eq\f(BM·BD,AB)＝eq\f(\f(332－162,7×33)×\f(33,7),4)＝eq\f(17,4)6．如图，在矩形纸片ABCD中，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝eq\f(3,5)，求AB的长．解：(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.(2)设AP＝x，∴由折叠关系，BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x.由△AMP∽△BPQ得eq\f(AM,BP)＝eq\f(AP,BQ)，即eq\f(1,x)＝eq\f(x,BQ)，得BQ＝x2.由△AMP∽△CQD得eq\f(AP,CD)＝eq\f(AM,CQ)，即eq\f(x,2x)＝