专题集训12相似三角形探究一、选择题1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值(B)A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上但有限D．有无数【解析】由题意：直角三角形两条边边长为6和8，则边长为6的只可能为直角边，当边长为8的是直角时，斜边为10，如图①.当8为斜边时，另一条边长为2eq\r(7)，如图②.边长为3，4及x的直角三角形与之相似，也只可能出现两种情况．二、填空题2．如图，正方形的边长为10，点E在CB的延长线上，EB＝10，点P在边CD上运动(C，D两点除外)，EP与AB相交于点F，若CP＝x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是__y＝eq\f(15,2)x(0＜x＜10)__．【解析】由题条件易知△EBF∽△ECP，且FB＝eq\f(1,2)CP.∴eq\f(S△EBF,S△ECP)＝(eq\f(BF,CP))2＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)，∴eq\f(S△EBF,SBCPE)＝eq\f(1,3)，而S△EBF＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)x×10＝eq\f(5,2)x，∴SBCPE＝3S△EBF＝eq\f(15,2)x，即y＝eq\f(15,2)x(0＜x＜10)．三、解答题3．如图，已知抛物线y＝eq\f(\r(2),8)(x＋2)(x－4)与x轴交于点A，B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似(△PAB与△ABD不重合)？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)令y＝0得x1＝－2，x2＝4，∴点A(－2，0)，B(4，0)，令x＝0得y＝－eq\r(2)，∴点C(0，－eq\r(2))(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E.由CD∥x轴，C(0，－eq\r(2))，可得D(2，－eq\r(2))．由勾股定理得AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝eq\r(42＋（\r(2)）2)＝3eq\r(2)，BD＝eq\r(DE2＋BE2)＝eq\r(22＋（\r(2)）2)＝eq\r(6)，①当P1AB∽△ADB时，eq\f(P1B,AB)＝eq\f(AB,BD)，即eq\f(P1B,6)＝eq\f(6,\r(6))，∴P1B＝6eq\r(6).过点P1作P1M1⊥AB，垂足为M1.∴eq\f(P1M1,P1B)＝eq\f(DE,BD)，即eq\f(P1M1,6\r(6))＝eq\f(2,\r(6))，解得P1M1＝6eq\r(2)，∵eq\f(BM1,P1B)＝eq\f(BE,BD)，即eq\f(BM1,6\r(6))＝eq\f(2,\r(6))，解得BM1＝12，∴点P1的坐标为(－8，6eq\r(2))．∵点P1不在抛物线上，所以此种情况不存在；②当△P2AB∽△BDA时，eq\f(P2B,AB)＝eq\f(AB,AD)，即eq\f(P2B,6)＝eq\f(6,3\r(2))，∴P2B＝6eq\r(2).过点P2作P2M2⊥AB，垂足为M2.∴eq\f(P2M2,P2B)＝eq\f(DE,AD)，即：eq\f(P2M2,6\r(2))＝eq\f(\r(2),3\r(2))，∴P2M2＝2eq\r(2)，∵eq\f(M2B,P2B)＝eq\f(AE,AD)，即：eq\f(M2B,6\r(2))＝eq\f(4,3\r(2))，∴M2B＝8，∴点P2的坐标为(－4，2eq\r(2))；将x＝－4代入抛物线的解析式得：y＝2eq\r(2)，∴点P2在抛物线上．由抛物线的对称性可知：点P2与点P4关于直线x＝1对称，∴P4的坐标为(6，2eq\r(2))，当点P3位于点C处时，两三角形全等，所以点P3的坐标为(0，－eq\r(2))，综上所述点P的坐标为：(－4，2eq\r(2))或(6，2eq\r(2))或(0，－eq\r(2))时，以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10厘米，OC＝6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运