合情推理与演绎推理教材精析山东史纪卿张兴华一、合情推理1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．（1）定义理解：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；（2）应用举例：前面学过的统计学中的抽样推断、等差数列的通项公式的求法，都属于归纳推理；（3）学习目的：可以发现新事实，获得新结论；2．类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．（1）定义理解：ⅰ类比推理是指两类对象具有类似特征；ⅱ由一类特征推想另一类特征；ⅲ类比推理是由特殊到特殊的推理；（2）应用举例：ⅰ代数举例．两个实数的大小关系与两个集合的包含关系类比如下：两个实数的关系两个集合的关系相等或不等包含关系不等真包含关系相等相等关系ⅱ平面几何与立体几何类比举例：平面内与同一条直线平行的两条直线平行；类比推出：空间中与同一个平面平行的两个平面平行；ⅲ解析几何举例：椭圆的定义：平面内与两定点的距离的和是一个常数（大于两定点的距离）的点的轨迹是椭圆；类比得到双曲线的定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值是一个常数（小于两定点的距离）的点的轨迹是双曲线；无论是日常生活，还是天文地理，类比的例子是非常多的，它是重要的数学思维方法，在数学的学习中占有重要的位置．（3）学习目的：提出新问题，作出新发现．3．推理过程：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→猜想．4．合情推理：归纳推理与类比推理统称为合情推理．（1）综合理解：合情推理是指“合乎情理”的推理，得到的结论不一定正确，例如：在平面内与同一直线垂直的两条直线平行，类比推测得：在空间中与同一平面垂直的两个平面平行，显然此结论是错误的．（2）学习目的：数学研究中，合情推理帮助我们猜想、发现结论，提供证明的思路和方向．二、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．（1）理解：演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）模式：①“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理；ⅱ小前提：所研究的特殊情况；ⅲ结论：根据一般原理，对特殊情况作出的判断．②字母表示：ⅰ大前提：M是P；ⅱ小前提：S是M；ⅲ结论：S是P；③集合简述：ⅰ大前提：且具有性质；ⅱ小前提：且；ⅲ结论；也具有性质；（3）举例：已知是实数，函数，当时，，证明．证明：由已知当时，有，因为时，所以，而，即．解题分析：证明采用了曲型的演绎推理方法：ⅰ大前提：当时，有；ⅱ小前提：；ⅲ结论：．三、三种推理的关系（1）从推理形式上看：归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）从所得结论上看：合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；而演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确；（3）从数学角度上看：合情推理发现证明思路，演绎推理证明数学结论；编者按：现在我们学习了合情推理与演绎推理，在今后的解题或证题中要去体会它，提高逻辑思维能力，使解题过程更具条理．