11.2合情推理与演绎推理一、选择题1．由eq\f(7,10)>eq\f(5,8)，eq\f(9,11)>eq\f(8,10)，eq\f(13,25)>eq\f(9,21)，…若a>b>0，m>0，则eq\f(b＋m,a＋m)与eq\f(b,a)之间大小关系为()A．相等B．前者大C．后者大D．不确定答案：B2．自然数按下表的规律排列1251017||||4—361118|||9—8—71219||16—15—14—1320|25—24—23—22—21则上起第2007行，左起第2008列的数为()A．20072B．20082C．2006×2007D．2007×2008解析：经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为(n－1)2＋1；③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2007行，左起第2008列的数，应是第2008列的第2007个数，即为[(2008－1)2＋1]＋2006＝2007×2008.答案：D3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．答案：B4．如下图所示，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．30解析：a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，∴an－an－1＝n，∴an＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝eq\f(n(n＋1),2)，∴a7＝eq\f(7×8,2)＝28.答案：B二、填空题5．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：(1)自反性：对于任意a∈A，都有a～a；(2)对称性：对于a，b∈A，若a～b，则有b～a；(3)传递性：对于a，b，c∈A，若a～b，b～c，则有a～c，则称“～”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出三个等价关系：________.答案：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．6．设正数数列{an}前n项和为Sn，且存在正数t，使得对所有自然数n，有eq\r(tSn)＝eq\f(t＋an,2)，则通过归纳猜想可得到Sn＝________.解析：令n＝1，则eq\r(ta1)＝eq\f(t＋a1,2)，∴S1＝a1＝t.令n＝2，则eq\r(t(a1＋a2))＝eq\f(t＋a2,2)，则a2＝3t.∴S2＝4t.同理S3＝9t.归纳Sn＝n2t.答案：n2t7．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如下图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．答案：Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)＝Seq\o\al(2,4)三、解答题8．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2).通过观察上述两个不等式的规律，请写出一个一般性的命题，并给出证明．解答：一般性的命题为：sin2α＋sin2(60°＋α)＋sin2(120°＋α)＝eq\f(3,2).证明如下：左边＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1－cos(120°＋2α),2)＋eq\f(1－cos(240°＋2α),2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α＋cos(120°＋2α)＋cos(240