矩阵一数的除法在数的乘法运算中，有一个特殊的数1，对任意数a有1）1·a=a·1=a;（乘法单位元）2）若ab=1，则可得a≠0；b≠0；ba=1；且对给定的a,b是惟一的。由于b是被a惟一确定的数，故可用a的函数式a-1表示，即b=a-1。3）当b≠0时，可定义除法如下：4）从而当a≠0时，可求解如下方程a·x=b二矩阵的逆1)矩阵的乘法单位元，在有限条件下，只有矩阵E满足EA=AE=A；有限条件指的是在上式中若A不为方阵时，则两个E并不相同。当要求上式中的E一致时，则要求A为方阵，此时E可看作单位元，其地位类似于数字1在数的乘法运算中的地位。2）参照ab=ba=1，能否由AB=BA=E推出B是惟一确定的？若能则可将B表示成A的映射形式，即有形式B=A-1。应用上，此时当A满足条件时，AX=BX=?定义n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB=BA=E,这里E是n级单位矩阵，并称B为A的逆矩阵，简称逆阵。性质：如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是惟一的。证明：若B,C都是A的逆阵，则有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.由于逆矩阵是惟一的，故可用矩阵A的某种映射形式表示其逆矩阵。具体地若A可逆，使用A-1表示A的逆矩阵。性质：如果矩阵A可逆，则方程AX=B有惟一解X=A-1B。矩阵A可逆的条件与求法？定理：若矩阵A可逆，则|A|≠0。证明：由于A可逆，则存在A-1，使得从而|A|≠0。定理：若矩阵A满足|A|≠0，则矩阵A可逆，且有其中A*为矩阵A的伴随阵。证明：由于AA*=A*A=|A|E，因|A|≠0，故有所以，按逆矩阵定义，即知A可逆，且有当|A|=0时，A称为奇异矩阵或退化的，否则称为非奇异矩阵或非退化的。定理：方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异或非退化矩阵，即|A|≠0，且定理：对方阵A,若方阵B满足AB=E，则B是惟一的，且满足BA=E,即A,B都可逆且互为逆矩阵。证明：由AB=E|A||B|=1|A|≠0，从而|A|-1A*存在，故有AB=E|A|-1A*AB=|A|-1A*EB=|A|-1A*即B是惟一的，且有BA=|A|-1A*A=|A|-1|A|E=E。例：计算逆矩阵方阵的逆阵满足下述运算律：例：设矩阵X满足A*X=A-1+2X，求X？例：例：例：例：初等矩阵及其作用定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。1)对调两行或对调两列以数k(≠0)乘某行或某列以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去初等矩阵的作用用初等矩阵左乘与右乘矩阵的效果为类似地可以验知：定理表明，借助于初等矩阵可将等价的矩阵写成等式形式，从而有助于更细致地讨论。四逆矩阵的求法特别地当A为方阵且可逆时，由于初等矩阵是可逆阵，故A的标准形F也必可逆，从而有r=n，即F=En为单位阵。由于初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵，从而当A为可逆方阵时，A必能表示成一些初等矩阵的乘积形式。定理：方阵A为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积,推论1：可逆矩阵与某一矩阵相乘不改变该矩阵的秩，即若设A是m×n矩阵，Pm,m与Qn,n是可逆的方阵，则有R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ).推论2：m×n矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B。推论3：方阵A可逆的充分必要条件是A与单位矩阵行等价。证明：若矩阵A与单位矩阵行等价，即存在初等矩阵推论3表明可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。这提供了一个求逆矩阵的方法。即若A是一n级可逆矩阵,则存在一系列初等矩阵P1,…,Pm使得例：求矩阵A的逆矩阵。例：求矩阵X使其满足AX=B，其中