易错疑难集训1.[2020河北唐山期中]如图,在△ABC中,AB=14,BC=12,AC=10,D是AC上一点,过点D画一条直线l,把△ABC分成两部分,使截得的三角形与△ABC相似,则这样的直线有()A.2条B.3条C.5条D.4条2.如图,已知正方形ABCD的边长是1,P是CD边的中点,点Q在线段BC上,当BQ的长为时,△ADP与△QCP相似.3.将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B',折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若△B'FC与△ABC相似,则BF的长是.4.如图,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=20cm,两只小虫P和Q同时分别从A,B出发沿AB,BC向终点B,C方向前进,小虫P每秒走1cm,小虫Q每秒走2cm.请问:它们出发多少秒时,以P,B,Q为顶点的三角形与以A,B,C为顶点的三角形相似?本题的易错之处是忽视分类讨论,认为△PBQ与△ABC相似只有△PBQ∽△ABC或△PBQ∽△CBA当中的一种情况,注意“相似”与“∽”的区别,“相似”表示对应关系不确定,“∽”表示对应关系确定.5.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的周长比为3∶4,则△ABC与△DEF的面积比为()A.4∶3B.3∶4C.16∶9D.9∶166.如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=8,AB=6,DE平分∠ADC交BC边于点E,交AC于点F,则S△CFE∶S△AFD=.7.[2020辽宁阜新中考]如图,把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置,图中所示的三角形的面积S1与四边形的面积S2之比为4∶5,若AB=4,则此三角形移动的距离AA1是.8.如图,在等腰三角形ABC中,AC=BC,点D,E分别是AC,BC边上的点,连接AE,BD相交于点O,连接DE,∠1=∠2.(1)求证:OD=OE.(2)若AB=3DE,△DCE的面积为2,求四边形ABED的面积.(2)由(1)知OD=OE,∴∠ODE=∠OED,∴∠OED=(180°-∠DOE),同理∠1=(180°-∠AOB).∵∠DOE=∠AOB,∴∠1=∠OED,∴DE∥AB,∴△DCE∽△ACB,∴=()2,即=()2=,∴S△ACB=18,∴S四边形ABED=S△ACB-S△DCE=18-2=16.1.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=9,E为线段AD上的点,且DE=2AE,G是线段AB上的动点,EF⊥EG交BC所在直线于点F,连接GF,则GF的最小值是()A.3B.6C.6D.32.如图,在平面直角坐标系中,已知点A,B的坐标分别为(8,0),(0,2),点C是AB的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D.动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E,连接BP,EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为.3.[2021河南郑州外国语中学期中]如图,已知AC为正方形ABCD的对角线,P是平面内不与点A,B重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE,连接AE,BP,CE.(1)求证:△APE∽△ABC.(2)当线段BP与CE相交时,设交点为M,求的值及∠BMC的度数.在平面直角坐标系中求解几何图形中点的坐标,一般是转化为求解线段长度的问题,往往需要综合利用几何图形的性质进行必要的推理与计算才能得出结果.4.[2020上海华东师大二附中月考]如图,从点A(0,2)发出的一束光,经x轴反射,过点B(5,3),则这束光从点A到点B所经过的路径的长为.5.[2020福建三明模拟]如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为(20,0),(0,15),动点P从点A出发在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动,动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动(即EF∥x轴),分别与y轴、线段AB交于点E,F,连接EP,FP,设动点P与动直线EF同时出发,运动时间为ts.(1)当t=9时,求△PEF的面积;(2)在直线EF、点P的运动过程中,是否存在这样的t,使得△PEF的面积等于40?若存在,请求出此时t的值,若不存在,请说明理由;(3)当t为何值时,△EOP与△BOA相似?(2)不存在.理由如下:由题意,知OE=t,∴BE=15-t,由(1)知=,即=,∴EF=(15-t),当△PEF的面积等于40时,即(15-t)t=40,整理,得t2-15t+60=0,∵Δ=152-4×1×60=-15<0,∴方程没有实数根.∴不存在t值,使得△PEF的面积等于40.(3)分两种情况:当∠EPO=∠BAO时,△EOP∽△BOA,∴=,即=,解得t=6;当∠EPO=∠ABO时,△EOP∽△