9.1灰色预测理论9.2GM(1,1)模型9.3GM(1,1)残差模型及GM(n,h)模型910.1一、灰色预测的概念(1)灰色系统、白色系统和黑色系统白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的,即系统的信息是完全充分的。例:计划经济体制下的产销系统是一个白色系统,产品由国有商业部门包销,价格由国家物价部门制定,基本不变,产量和销售产值之间存在确定的对应关系,生产和销售系统的结构是明确的。黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的,只能通过它与外界的联系来加以观测研究。灰色系统内的一部分信息是已知的,另一部分信息是未知的,系统内各因素间有不确定的关系。例:市场经济条件下的产销系统,企业要根据市场信息来决定生产,产销不对路,生产出来的产品便无法实现销售价值,市场价格又是多变的,获得完备的市场信息和价格信息对企业几乎是不可能的,因此此时的产销系统就是一个灰色系统。灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预则,就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。(2)灰色预测法灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度,即进行关联度分析,并通过对原始数据的生成处理来寻找系统变动的规律,生成数据序列有较强规律性,可以用它建立相应的微分方程模型,从而预测事物未来发展趋势和未来状况。灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型,预测未来某一时刻的特征量,或达到某一特征量的时间。(3)灰色预测的四种常见类型灰色时间序列预测用等时距观测到??反映预测对象特征的一系列数量(如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等)构造灰色预测模型,预测未来某一时刻的特征量,或达到某一特征量的时间。畸变预测即通过灰色模型预测异常值出现的时刻,预测异常值什么时候出现在特定时区内。系统预测通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测理论模型,在预测系统整体变化的同时,预测系统各个环节的变化。拓扑预测又叫波形预测,将原始数据做曲线,在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点,并以该定值为框架构成时点数列,然后建立模型预测该定值所发生的时点。二、生成列灰色预测所直接使用的不是原始数据,而是由原始数据经过数据处理产生的所谓生成数列,目的是为了弱化原始时间序列的随机性。在建立灰色预测模型之前,需先对原始时间序列进行???据处理,经过数据处理后的时间序列即称为生成列。累加累加是将原始序列通过累加得到生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种:(1)数据处理方式累加的规则:将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据;将原始序列的第二个数据加到生成列的第一个数据上,其和作为生成列的第二个数据;将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数据上,其和作为生成列的第三个数据;按此规则进行下去,便可得到生成列。记原始时间序列为:nXXXXX00000,...3,2,1生成列为:nXXXXX11111,...3,2,1上标1表示一次累加,同理,可作m次累加:kimmiXkX11k(1)(0)(1)(0)i1x(k)x(i)x(k1)x(k)对非负数据,累加次数越多则随机性弱化越多,累加次数足够大后,可认为时间序列已由随机序列变为非随机序列。一般随机序列的多次累加序列,大多可用指数曲线逼近。例1(0)x{2,5,4,3,6}(1)x{2,7,11,14,20}(2)x{2,9,20,34,54}累减将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列累减是累加的逆运算,累减可将累加生成列还原为非生成列,在建模中获得增量信息。一次累减的公式为:1001kXkXkX例2(2)x{2,5,4,3,6}(1)x{2,7,11,14,20}(0)x{2,9,20,34,54}三、关联度关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法,在计算关联度之前需先计算关联系数。(1)关联系数设nXXXkX0000?,...,2?,1??nXXXkX0000,...,2,1则关联系数定义为:kXkXkXkXkXkXkXkXk00000000?maxmax??maxmax?minmin)(-参考序列-被比较序列式中:kXkX00?kXkX00?minminkXkX00?maxmax为第k个点ρ称为分辨率,0预测模型: