程桥高级中学2013届高三数学复习学案第12讲函数与方程一、复习目标：1、了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系。2、了解用二分法求方程近似解的过程，能借助计算器求形如的方程的近似解。二、基础梳理：1、函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使的实数叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布根的分布(m＜n＜p为常数)图象满足条件x1＜x2＜mm＜x1＜x2x1＜m＜x2m＜x1＜x2＜nm＜x1＜n＜x2＜p只有一根在(m，n)之间3、二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.4、一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．5、两个防范(1)函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．6、三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、双基自测：1、若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．2、若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点个数是．3、如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是．4、在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为5、已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_______．四、考点探究：考点一、函数零点与零点个数的判断例1、函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnx，x＞0))的零点个数为．方法总结：练习1、函数f(x)＝log3x＋x－3的零点一定在区间．A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)考点二、有关二次函数的零点问题例2、是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．方法总结：练习2、关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时(1)有两不同正根；(2)不同两根在(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2；(4)在(1,3)内有且只有一解考点三、函数零点性质的应用例3、已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0，其中e表示自然对数的底数)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．方法总结：练习3、已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个