章末综合测评(二)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点.因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点.以上推理中________错误.【解析】大前提是错误的，若f′(x0)＝0，x＝x0不一定是函数f(x)的极值点.【答案】大前提2.下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________.图1【解析】由图形可知，着色三角形的个数依次为：1,3,9,27，…，故an＝3n－1.【答案】3n－13.(2016·日照联考)已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)，计算得f(22)＞2，f(23)＞eq\f(5,2)，f(24)＞3，f(25)＞eq\f(7,2)，由此推测，当n≥2时，有________.【解析】因为f(22)＞eq\f(4,2)，f(23)＞eq\f(5,2)，f(24)＞eq\f(6,2)，f(25)＞eq\f(7,2)，所以推测，当n≥2时，f(2n)＞eq\f(n＋2,2).【答案】f(2n)＞eq\f(n＋2,2)4.已知圆x2＋y2＝r2(r＞0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的面积最有可能是________.【解析】将圆看作椭圆的极端情况，即a＝b情形.∴类比S圆＝πr2，得椭圆面积S＝πab.【答案】πab5.已知a＞0，b＞0，m＝lgeq\f(\r(a)＋\r(b),2)，n＝lgeq\f(\r(a＋b),2)，则m与n的大小关系为________.【解析】∵(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＞a＋b＞0，∴eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(a＋b)＞0，则eq\f(\r(a)＋\r(b),2)＞eq\f(\r(a＋b),2).∴lgeq\f(\r(a)＋\r(b),2)＞lgeq\f(\r(a＋b),2)，则m＞n.【答案】m＞n6.已知数列{an}为等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且公比q＞1，若a1＝b1，a2013＝b2013，则a1007与b1007的大小关系是________.【解析】由2a1007＝a1＋a2013，得a1007＝eq\f(a1＋a2013,2).又beq\o\al(2,1007)＝b1·b2013，得b1007＝eq\r(b1·b2013)，∵a1＝b1＞0，a2013＝b2013＞0，且a1≠a2013，∴a1007＞b1007.【答案】a1007＞b10077.利用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)＞eq\f(1,2)(n＞1，n∈N*)的过程中，第一步的代数式为____________________.【解析】第一步：n＝2时，左边为eq\f(1,2＋1)＋eq\f(1,2＋2)，故代数式为eq\f(1,2＋1)＋eq\f(1,2＋2)＞eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2＋1)＋eq\f(1,2＋2)＞eq\f(1,2)8.(2016·江西一模)观察下列等式：(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝________.【解析】观察知，a2为数列1,3,6,10，…中的第n项，而1＝eq\f(2,2)＝eq\f(1×2,2)，3＝eq\f(6,2)＝eq\f(2×3,2)，6＝eq\f(12,2)＝eq\f(3×4,2)，10＝eq\f(20,2)＝eq\f(4×5,2)，…，归纳得a2＝eq\f(nn＋1,2).【答案】eq\f(nn＋1,2)9.将全体正整数排成一个三角形数阵