2．幂函数的图象：(只做出第一象限图象)3．幂函数的性质(1)当α>0时，幂函数图象都过点和点；且在[0，＋∞)上都是函数；当0<α<1时曲线；当α>1时，曲线；α＝1时为过点和点的直线．(2)当α<0时，幂函数图象总经过点，且在(0，＋∞)上为减函数．(3)α＝0时y＝xα＝x0，表示过点平行于x轴的直线(除(0,1)点)．(2)性质(见下表)[答案]C[点评与警示]比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性．(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性．(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3当x∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m的值．[解]令m2－m－1＝1，解得m＝2或－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，幂函数y＝x－3在(0，＋∞)上为减函数；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0在(0，＋∞)上为常函数．所以，m＝2.[点评与警示]注意幂函数的定义：形如y＝xa的函数叫做幂函数．因此有m2－m－1＝1.若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值等于()A．1B．2C．1或2D．0[解析]由于函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2是幂函数，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或2.当m＝1时y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2＝x－2，定义域是{x|x∈R，x≠0}，图象不经过原点；当m＝2时，y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2＝x0，定义域是{x|x∈R，x≠0}，图象不经过原点．[答案]C[分析]先利用幂函数的定义求出f(x)，g(x)的解析式，再利用图象判断．据图可知，(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)，(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)，(3)当－1<x<1且x≠0时，g(x)>f(x)．[点评与警示]1.幂函数的一般形式是y＝xα(α为常数)，确定幂函数的解析式一般用待定系数法，解出α即可．2．幂函数的图象在解不等式和方程时有重要的应用．3．本题注意g(x)＝x－2的定义域是{x|x≠0}．[解]∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N＋，∴m＝1,2.又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N)的图象关于坐标原点对称且在(0，＋∞)上是减函数，求f(x)的表达式并画出该函数的草图．[解]∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数∴m2－2m－3＜0即－1＜m＜3由m∈N，得m＝0、1、2.又f(x)的图象关于原点对称．∴m2－2m＋3是奇数．而m＝0时，m2－2m－3＝－3是奇数m＝1时，m2－2m－3＝－4不是奇数m＝2时，m2－2m－3＝－3是奇数．∴m＝0或2，f(x)＝x－3.草图如右图．2．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论．3．对于幂函数y＝xa，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即a<0,0<a<1和a>1三种情况下曲线的基本形状，还要注意a＝0，±1三个曲线的形状．4．利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小，具体方法如下：(1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较；(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；(3)当幂的底数和指数都不同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小，可以利用幂函数的单调性比较；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值(如1)，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小．(4)比较多个幂值的大小，一般也是运用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数用相关的方法进行比较，最后确定各数之间的大小关系．