第二章解析函数§2.1解析函数§2.2初等函数§2.1解析函数1.复变函数的导数定义2.1设函数wfz=()的定义域为区域D，z0∈D，z0+ΔzD∈，若f()()zzfz00+Δ−limΔ→z0Δz存在，则称f()z在z0可导或可微，且f()z在z0的导数为dwf()()zzfz+Δ−fz′()==000limdzΔ→z0Δzzz=0注意：（1）f()z在z0可导且导数为f′()z0等价于对任意ε>0，存在δ>0，当0|<Δ<z|δ时有fz()()00+Δz−fz−<fz′()0εΔz（2）若f()z在区域D内每一点可导，则称f()z在D内可导。结论：若f()z在z0可导，则f()z在z0连续。证明：设f()z在z0可导，令fz()()00+Δ−zfzρ()Δ=zfz−′()0，Δz则limρ(Δ=z)0，且Δ→z0f()()()()zzfzfzz000+Δ−=′Δ+ρΔzzΔ所以limf()()zzfz+Δ=Δ→z000即f()z在z0连续。例求f()zz=n（n为正整数）的导数解：对于∀z∈^，有f()()zzfz+Δ−()zz+Δ−nnzlim=limΔ→z0ΔzΔ→z0Δznnknk−knknk−k∑Czn()Δz−z∑Czn()Δzk=0k=1=lim=limΔ→z0ΔzΔ→z0Δzn11nknkk−−−1n−1=+limCznnlimCz(Δz)=nzΔ→zz00Δ→∑k=2nnn′−1即f()zz=在复平面处处可导且f′()zz==()nz.例讨论gz()=z的可导性解：对于∀z∈^，Δzxiy=Δ+Δ，有gz()()+Δz−gzz+Δz−zΔzΔx−Δiy===ΔΔΔzzzΔx+ΔiyΔxiy−ΔΔx因为lim=lim=1，Δ→xy0,Δ=0Δ+ΔxiyΔ→x0ΔxΔxiy−Δ−Δiylim=lim=−1Δ=xy0,Δ→0Δ+ΔxiyΔ→y0iyΔgz()()+Δz−gzΔz所以lim=lim不存在，即gz()=z在复平Δ→zz00ΔzzΔ→Δ面处处不可导。例讨论hz()=|z|2的可导性解：对于∀z∈^，Δzxiy=Δ+Δ，有hz()()()()+Δz−hzz+Δzz+Δz−zzΔz==+Δ+zzzΔΔzzΔzΔz因为limΔz=0，lim不存在，所以Δ→z0Δ→z0Δzhz()()+Δ−zhz当z≠0时，lim不存在，即当z≠0时Δ→z0Δzhz()=|z|2不可导；hz()()+Δ−zhz当z=0时，lim=0，即hz()=|z|2在z=0Δ→z0Δz可导且h′(0)=0.求导公式：（1）()C′=0（C为常数）nn′−1（2）()znz=（n为正整数）（3）()f()zgz±=±()′fzgz′()′()（4）()f()zgz()′=+f′()zgz()f()zg′()z⎛⎞f()zgzfzfzgz′()′()−()′()（5）⎜⎟=2，gz()≠0⎝⎠gz()()gz()（6）若wfz=()在z0可导，ζ=ϕ()w在wfz00=()可导则复合函数ζϕ=(f()z)在z0可导，且dddwζζ=⋅=ϕ′()()wfz00′；dzdwdzzz===000wwzz（7）若wfz=()在z0可导，且fz′()0≠0，则在wfz00=()的某邻域内存在单值反函数zw=ϕ()，ϕ()w在w0可导且1ϕ′()w0=.f′()z02.解析函数定义2.2若函数f()z在z0的某邻域内处处可导，则称f()z在z0解析；若f()z在区域D内每一点解析，则称f()z在区域D内解析。注意：（1）f()z在z0可导←f()z在z0解析（2）f()z在z0可导→/f()z在z0解析（3）f()z在区域D内可导⇔f()z在区域D内解析。例（1）f()zz=n（n为正整数）在复平面处处可导，处处解析；（2）gz()=z在复平面处处不可导，处处不解析；（3）hz()=|z|2，当且仅当z=0时hz()可导，hz()在复平面处处不解析；1（4）ϕ()z=，当z2+10≠时ϕ()z可导，从而ϕ()z在z2+1复平面除z=±i外处处解析。定理2.1（1）区域D内的解析函数的和、差、积、商（分母不为零）也在区域D内解析；（2）若函数wgz=()在z平面的区域D内解析，函数ζ=f()w在w平面的区域G内解析,且gD()⊂G,则复