第二模块函数(必修1:第一章函数概念;第二章基本初等函数(Ⅰ);第三章函数的应用)第四讲函数及其表示回归课本1.函数的概念设集合A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对A中的任意一个数x,在集合B中,都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,自变量的取值范围叫做这个函数的定义域.自变量取值a,则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作y=f(a).所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域.2.构成函数的要素:定义域､对应关系､值域.3.两个函数的相等当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.4.常用的函数表示法(1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.5.分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.6.映射的概念设A､B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称f为从集合A到集合B的一个映射,记作“f:A→B”.考点陪练解析:当两个函数的解析式和定义域完全相同时,这两个函数相等.同时满足这两个条件的只有A,B中x≠0,C中x∈R,D中x∈R.答案:A2.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},则在下面4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②解析:由函数的定义易知②③成立,故选C.答案:C解析:A中f(x)的定义域是{x|x≥0},g(x)的定义域是{x|x≥0或x≤-1},f(x)与g(x)的定义域不同,∴f(x)与g(x)不是相等函数.B中f(x)=的定义域为{x|x∈R,且x≠2},g(x)的定义域为R,f(x)与g(x)的定义域不同,∴f(x)与g(x)不是相等函数.C中f(x)、g(t)虽然自变量用不同的字母表示,但定义域､对应关系都相同,所以f(x)、g(t)表示相同函数.D中f(n)、g(n)的对应关系不同,所以不是相等函数.所以应选C.答案:C评析:根据函数的三要素,从定义域､值域､对应关系等方面对所给的函数进行分析判断.判断两个函数是否相同,只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同.即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是相等函数,因为定义域､值域不能唯一地确定函数的对应关系.此外,两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关.4.已知集合A={(x,y)|y=f(x),x∈[-1,2]},集合B={(x,y)|x=0},则A∩B的子集的个数是()A.0B.1C.2D.不确定解析:函数f(x)定义在[-1,2]上,所以由函数定义知当x=0时有唯一的y与之对应,即直线x=0与函数图象有唯一交点,故A∩B中有一个元素,有2个子集.故选C.答案:C5.已知映射f:A→B,其中集合B={-2,0,4,10},集合B中的元素都是集合A中的元素在映射f下的对应元素,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是(a+1)(a-2),那么集合A中元素的个数最多可能是()A.4B.6C.8D.10解析:当(a+1)(a-2)=10时,得a=4,-3;当(a+1)(a-2)=4时,得a=3,-2;当(a+1)(a-2)=0时,得a=2,-1;当(a+1)(a-2)=-2时,得a=0,1,所以根据映射的定义知集合A中元素最多可能有4,-3,3,-2,2,-1,0,1,一共8个,故选C.答案:C类型一函数的基本概念解题准备:(1)函数是指两个非空数集A､B之间的一种对应关系,它要求集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一的数f(x)与之对应;(2)两个函数相等是指函数的三要素相同,由于函数的值域是由定义域和对应关系唯一确定,因此只需判定定义域与对应关系是否相同即可.【典例1】(1)函数y=f(x),x∈D与直线x=2交点个数为________.[解析](1)当x=2∈D时,根据函数定义A中任何一个自变量在B中都有唯一元素和它对应,即有且只有一个交点;当x=2D时,无交点.(2)命题p中两函数的定义域不同,p是假命题,命题q中两函数对应关系不同,q也是假命题,所以p∨q是假命题.[反思感悟]两个函数的定义域､值域和对应关系中有一个不同,它们就不表示相等的函数.[答案](1)0个或1个(2)假类型二求函数的解析式解题准备:求函数解析式的常用方法有:(1)配凑法;(2)换元法;(3)待定系数法;(4)消元法等.类型三分段函数解题准备:(1)对于分段函数,一定要明确自变量所属的范围,以