2.2平稳随机过程和各态历经性在信息处理和通信领域中,很多随机过程都是平稳的或者近似平稳.并不是一提到随机信号,什么都是随机的,如典型的随机信号正弦信号平稳随机过程虽然上面几个随机过程样本函数均是正弦曲线,但若以统计的观点看每个随机过程,他们的统计特性都不同.下面我们研究平稳随机过程以及各态历经性.2.2.1严平稳过程严格地说,如果对于任意的t,随机过程X(t)的任意n维概率密度满足:则称X(t)为严平稳过程.换句话说,严平稳过程的n维概率密度不随时间起点不同而改变.研究严平稳的意义在于:任何时刻计算它的统计特性都相同.如果上式不是对所有n成立,对n<N是成立,称X(t)为N阶平稳如果两个随机过程X(t)和Y(t)的任意n+m维联合概率密度不随时间平移变化,或者说与时间无关,即满足;称随机过程X(t)和Y(t)是联合严平稳过程.在实际问题中,利用随机过程的概率密度函数判断其平稳性是很困难的.一般情况下,只要产生随机过程的主要物理条件不随时间的推移而改变,那么这个随机过程基本上被认为是平稳的.严平稳随机过程的性质下图为典型平稳过程的例子.细实线表示样本函数,粗实线表示数学期望,虚线表示随机过程对数学期望的偏差.性质2严平稳过程X(t)的二维概率密度只与两个时刻t1,t2的间隔有关,与时间起点无关.X(t)的自相关函数和协方差函数只与时间间隔有关.即:2.2.2宽平稳(广义平稳)过程例2.2.3判断下面两个随机过程是否平稳?(2)当幅度.相位和频率都为随机变量时,说明每个样本函数的幅度.相位和频率都可能不同,因此其数学期望:亦与时间起点无关,只与时间差有关.又由于X(t)的平均功率有限,可以确定X(t)为平稳过程.2.2.3各态历经过程对于二阶平稳过程X(t):3.若X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性,且X(t)是广义平稳过程,则称X(t)是广义各态历经过程.时间自相关函数为:各态历经过程的充分必要条件2.2.4平稳随机过程的相关性分析例.2.2.5非周期平稳随机过程X(t)的自相关函数求数学期望和方差.相关系数相关系数不存在对数学期望和方差的影响,因此它可以直接说明两个随机过程的相关程度的强弱.或随机过程起伏的快慢.互相关函数的性质2.1随机过程X(t)=Acos(wt)+Bsin(wt),其中w为常数,A,B是两个互相独立的高斯变量,并且E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]=σ2求X(t)的数学期望和自相关函数.