清华中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题一．选择题若复数z满足z=3-4i，则z的虚部是()A.4B.4iC.-4D.-4i化简AB+BC-AD=()A.ACB.CAC.CDD.DC∆ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若a2+b2-c2=ab,则∠C=（）30°B.60°C.45°D.120°4．已知向量，满足，，，那么与的夹角为（）A．B．C．D．5．如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（）A．B．C．D．6.∆ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1,B=45°,S∆ABC=2，则∆ABC的外接圆的直径为()A.43B.5C.52D.627.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于(    )A.217B.2114C.32114D.21288．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则（）A．B．C．D．多选题9．已知向量a=(2,1)，，e是与b同向的单位向量，则下列结论错误的是（）A．B．向量在向量上的投影向量为-12eC．与的夹角余弦值为D．若，则10．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（）A．若a>b,则sinA>sinBB．若∠A=30°,b=4,a=3则有两解C．若为钝角三角形，则a2+b2>c2D．若A=60°,a=2,则面积的最大值为311．在△ABC中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（）A．若，则；B．若，则一定为等腰三角形；C．若，则为直角三角形；D．若△ABC为锐角三角形，则.12.设点是给定△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若，则点是边的中点B．若，则点在边的延长线上C.若BM∙AC=0,BM=13BA+23BC,P为直线AC上的动点，则BM∙BP为定值D．若，且，则的面积是的△ABC面积的二、填空题13．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于第象限.14．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则BC边上的中线长AD=_________．15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。”若把以上这段文字写成公式，即S=14[c2a2-(c2+a2-b22)2]，已知△ABC满足sinA-sinBsinA+sinB=sinAsinC-sin2C，且AB=2BC=22，则用以上给出的公式可求得△ABC的面积为_______16.如图，在半径为1的圆O中，点A、B为圆O上的定点，且∠AOB=60°，点C为圆上的一个动点，若OC=xOA+yOB，则2x+(3+1)y的取值范围是________三、解答题17.(10分）已知平面向量a=(3,4)，b=(9,x)，c=(4,-3)，且a//b(1)求b(2)若m=2a-b，n=a+c，求向量m与向量n的夹角的大小．18.（12分）已知，，与夹角是．（1）求a∙b的值及的值；（2）当为何值时，19．（12分）如图，角为平面四边形的四个内角，.（1）若，求；(2)若，求20.（12分）已知在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，m=(2cosC,acosB+bcosA)，n=(c,-1)，且m⊥n．(1)求角C；(2)若边长c=3，求周长的取值范围．21.（12分）如图所示，某区有一块空地△OAB，其中OA=4km，OB=43km，∠AOB=90o.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．(1)当AM=2km时，求防护网的总长度；(2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的3倍，试确定∠AOM的大小；（12分）如图所示，在△ABC中，D、F分别为线段BC，AC上一点，且BD=2DC