數學美賞析下譚建國D.方法美在數學方法、解答方面數學的美具有什麼特點呢優美的解答應該使我們驚訝應該是出乎意料的。但是數學推理的美不能只用意外性來解釋。如果一個學生對一道習題想不出公式化的常規方法來解答只是勉勉強強地想出一種冗長的繞道的解法雖然這種解法大家完全沒有想到但是這個解法給人帶來的最多只能是感動而絲毫不能給人美的感受。能給人優美感的數學方法與解答除了不尋常性以外還應該具有直觀性某種意義上也就是簡單性。可以說方法美的主要特徵就是意外性新奇性和簡單性。簡單性的含義如前文所述而新奇性則來源於數學思想的獨創性和數學方法的新穎它體現了數學理論或方法中的藝術因素。掌握這種藝術靠直覺。方法上的新奇往往要同時引入相應的新概念。由於對新奇性的評價與審美心理因素關係十分密切所以對一種新的理論或全新的方法的美學價值的看法總是存在爭議的例如對數學定理的機器證明就是如此。關於方法之美我們在前文已經接觸過一些如“理論美”中的例4下面再通過分析一些例子對方法美作一番巡視。一數學思想方法的幾次重大轉折歷史表明數學的發展不僅表現為量的積累而且還表現為質的飛躍。下面將論述的數學思想方法的四次重大轉折就充分說明了這一點。1.從算術到代數算術和代數作為最基礎而又最古老的兩個分支學科有著不可分割的親緣關係。算術是代數產生的基礎代數是算術發展到一定階段的必然產物。從算數發展到代數是人們對數及其運算在認識上的突破也是數學在思想方法上的一次重大轉折。在算術解題法中未知數是不允許作為運算的對象的它們沒有參加運算的權利。而在代數解題法中所列出的方程作為一種條件等式已是由已知數和未知數構成的有機統一體。在這個統一體中未知數和已知數有著同等的權利即未知數在這裡也變成了運6970數學傳播20卷2期民85年6月算的對象它們不再是消極、被動地靜等在等式的一邊而是和已知數一樣可以接收各種運算指令並可以依照某種法則從等式的一邊移到另一邊。解方程的過程實質上就是未知數和已知數進行重新組合的過程也是未知數向已知數轉化的過程。解方程是古典經典代數最基本的內容。方程在數學中占有重要的地位它的出現不僅極大地擴充了數學應用的範圍使得許多算術解題法不能解決的問題能夠得以解決而且對整個數學的進程產生巨大的影響。特別是數學中的許多重大發現都與它密切相關例如對二次方程的求解導致虛數的發現對五次和五次以上方程的求解導致群論的誕生對一次方程組的研究導致線性代數的建立應用方程解決幾何問題導致解析幾何的形成等等。顯然代數解題法相對於算術解題法更具有新奇性和簡單性算術解題法需要更強的技巧。2.從常量數學到變量數學算術、初等代數、初等幾何和三角構成了初等數學的主要內容。它們都以常量即不變的數量和固定的圖形為其研究對象因此這部分內容也稱為常量數學。運用常量數學可以有效地描述事物和現象相對穩定的狀態。可是對於描述運動和變化卻是無能為力的於是便產生了從量上描述事物的運動和變化規律的數學部分—變量數學。從常量數學到變量數學是數學在思想方法上的又一次重大轉折。變量數學產生的兩個重要步驟都是在十七世紀完成的因此十七世紀也就變成了常量數學向變量數學轉變的時期。變量數學的產生有著極重要的意義其具體表現可概括為以下兩個方面。首先變量數學的產生使數學自身在思想方法上發生了重大的變革由此帶來整個數學面貌的根本性改觀。通過這次變革常量數學的許多分支學科諸如代數、幾何、三角和數論等由於變量數學的滲透而在內容上得到了極大的豐富在思想方法上發生了深刻的變化。例如可把解方程理解為求函數的零點借助分析的方法率先給出了代數基本定理的嚴格證明等等。通過這次變革新的數學分支雨後春筍般地湧現出來。諸如解析數論、微分幾何、微分方程論、積分方程論、級數論、差分學、函數論等。總之從變量數學產生後變量數學的思想方法很快就在整個數學中占據了主導地位不要說分析學和幾何學就是代數學也一樣由文字式的變換和解方程為內容的初等代數發展到以代數系統的結構為內容的近世代數變量數學的思想已滲透其中以各種“運動”“變動”構成的各類具體的代數系統構成近世代數的一個重要的部分如置換群關係半群算子代數等另外抽象代數系統的結構的刻劃也須借助於其上的若干特殊的“運動”—同態同構等讓系統“動”起來在“動”中把握它的本質特性。其次變量數學的產生使自然科學描述現實物質世界的運動和變化過程成為可能。數學在自然科學各部門的應用範圍得到了空前的擴展。數學美賞析下71變量數學的方法與常量數學的方法相比更具有新奇性如“線”是“點”運動的結果和簡單性如求平面曲線所圍成的面積。3.從必然數學到或然數學從必然數學到或然數學是數學思想方法的又一次重大轉折。所謂必然數學是指描述和研究現實世界的必然現象及其規律的那部分數學它包括通常的算術、三角、幾何、代數、微積分、微分方程論、積分方程論和函數論等分支學科。必然數學在科學技