第二节齐次线性方程组一、齐次线性方程组有非零解的条件若记则齐次线性方程组可表示为Ax=0(2)其中矩阵A称为齐次线性方程组的系数矩阵。假设其系数矩阵的秩R（A）=r＞0，为了方便起见，不妨设由于上面假设D≠0，即系数矩阵A的前r列列向量线性无关，因此经过有限次初等行变换可得矩阵A的行最简形为由于A和B的行向量组等价，于是（1）与如下的方程组同解：其中xr+1，…，xn可取任意实数，称为自由未知量。二、齐次线性方程组解的结构由此结论可知，所有齐次线性方程组（2）的解向量的集合形成了一向量空间，此空间称为齐次线性方程组（2）的解空间。而由此我们又想到，如果我们找到了此解空间的基，便能将齐次线性方程组（2）的解向量一并表示出来，我们将齐次线性方程组（2）的解空间的基称为基础解系。假定ξ1，ξ2，…，ξk为齐次线性方程组（2）的k个解向量，如果（a）ξ1，ξ2，…，ξk线性无关；（b）齐次线性方程组（2）的任意解向量是ξ1，ξ2，…，ξk的线性组合，则称ξ1，ξ2，…，ξk为齐次线性方程组（2）的一个基础解系。一个向量空间的基应该不是唯一的，则齐次线性方程组的基础解系也不是唯一的，但其所包含的解向量的个数应该是相同的。下面我们将讨论如何求解齐次线性方程组的基础解系，亦即最终实现用有限个解向量来表示齐次线性方程组的无穷多个解向量。令x=（x1，x2，…，xn）‘是齐次线性方程组（1）的任意解，由（3）式得：以上结论说明，齐次线性方程组（1）的任意解均为ξ1，ξ2，…，ξn-r的线性组合。如果我们能说明ξ1，ξ2，…，ξn-r是齐次线性方程组（1）的解，并且它们线性无关，那么ξ1，ξ2，…，ξn-r就是齐次线性方程组（1）的基础解系。但由ξ1，ξ2，…，ξn-r的取法这两个条件是显然满足的。我们将以上所得到的结论总结成以下定理：定理3如果齐次线性方程组（1）的系数矩阵的秩r=n，它有唯一零解，此时它没有基础解系；如果齐次线性方程组（1）的系数矩阵的秩r＜n，它有无穷多个解，此时它有基础解系，其基础解系包含n-r个解向量，齐次线性方程组（1）的任意解为其基础解系的线性组合。定理3也表明，基础解系的任意线性组合表达了齐次线性方程组（1）的所有解，由此有通解这一概念。如果ξ1，ξ2，…，ξn-r为齐次线性方程组（1）的基础解系，则其任意线性组合x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r（k1，k2，…，kn-r为任意实数）称为齐次线性方程组（1）的通解。求齐次线性方程组的基础解系有以下步骤：用初等行变换将齐次线性方程组（1）的系数矩阵化为行最简形，以此得到齐次线性方程组（1）同解的方程组，即得到(3)的形式；根据(3)的特殊形式写出其基础解系和通解。例1求解齐次线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换成为行最简形：于是得到与原方程组同解的方程组令x3=k1，x4=k2，可把它写成通常的参数形式，其中k1，k2为任意实数，或写成向量形式原方程组的基础解系为对非齐次线性方程组令则原来的方程组可以表示为Ax=b（2）如果令则原来的方程组也可以表示为x1a1+x2a2+…+xnan=b称方程组Ax=0为原来的非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组。一、非齐次线性方程组有解的条件令称此矩阵为原来非齐次方程组的增广矩阵。则下面的四种提法是等价的：I)非齐次线性方程组（1）有解；II)向量b能由向量组a1，a2，…an线性表示；III)向量组a1，a2，…an与向量组a1，a2，…an，b等价；IV)R（A）=R（B）。即有下列定理成立定理1非齐次线性方程组（1）有解的充分必要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等。若非齐次线性方程组（1）的R（A）=R（B）=r＞0，不妨假设其前r行及前r列所构成的r阶主子式D≠0，于是可得到非齐次线性方程组（1）的一个同解方程组为定理2如果非齐次线性方程组（1）有解，则当它的系数矩阵的秩r=n时，非齐次线性方程组（1）有唯一解；当它的系数矩阵的秩r＜n时，非齐次线性方程组（1）有无穷多个解。例1问λ为何值时，线性方程组有解；有唯一解；有无穷多个解？解此线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵B分别为：由于当λ≠1，λ≠-2时，R（A）=R（B）=3，这时线性方程组有唯一解；当λ=1时，R（A）=R（B）=1＜3，这时线性方程组有无穷多个解；当λ=-2时，R（A）=2≠R（B）=3，此时线性方程组无解。此题也可将增广矩阵进行初等行变换，讨论系数矩阵与增广矩阵的秩的关系，从而得到其解的情况。当λ≠