构建一题多解提高复习效率上海久隆模范中学王永上海市岭南路115号200435（021-56910260）E-mail:wangyongharry@yahoo.cn由于初三数学的复习面临考试评价的压力，教师期望学生在最短的时间内通过多做题目来达到成绩速成的效果，于是复习课就变成了习题课，学生的主体地位被忽视，引起的直接后果就是复习效率低下，事倍功半，所以只有学生积极主动地参与数学学习活动，才能实现数学复习课的教育价值。《上海市中小学数学课程标准》明确指出：“教师要通过教学策略的运用，引导学生主动参与，建构知识、积累经验、丰富学习经历，鼓励学生主动地、富有个性地学习”。教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维，从而提高复习课教学的有效性。下面谈谈我在教学中构建一题多解的几种做法。一.启发联想构建一题多解联想是由一事物想到另一个事物的思维过程，它是创造性思维的起点。课堂上启发学生展开联想，进行发散性思维，可以帮助学生突破感官时空限制，扩大感知领域，唤起学生对已有知识和经验的回忆，沟通新旧知识之间的联系，达到一题多解，发展学生的思维。图1例题1：如图，已知是等腰三角形，，点P是边BC上任意一点，,,，求证：解法一：如图1.过P点作PG⊥BF交BF于点G，易证四边形PGFE是矩形，知PE=FG,再利用△BPG≌△PBD得到PD=BG,原题得证。说明：利用三角形全等的方法证明，学生很容易找到这种方法，而且也符合线段之和的一般证法“截长补短”。解法二:如图2.由已知易证△BFC∽△PEC,图2得到①,△BDP∽△CEP,得到②,由①②得到,再由等比性质得,即,原题得证。说明：由角与角之间的关系很容易想到三角形的相似，然后利用相似三角形的基本性质，得到对应线段成比例，但是等比性质的利用可能会难倒一部分学生。解法三：如图2，由∠B=∠C得，在Rt△BDP中，图3，在Rt△PEC中，，在Rt△BFC中,,所以,其他步骤同解法2.说明：这种解法需要学生对数学的基本概念很熟悉，对三角比之间关系很清楚，其实这种解法的实质与解法二无异，但是这种解法看上去更加简洁明了，便于学生的理解与模仿。解法四：如图3，联结AP，，得到，由,原题得证。说明：这种解法很多容易被学生忽视，其实利用面积的关系解题体现了数学中的部分与整体之间的关系，应该引起学生的注意，而且这种解题思路是这四种解法中最简单和乐于被学生接受的。本题是放在《数学学科教学基本要求》（上海市初级中学）“三角形全等”复习中的一道习题，我把它作为一道习题性例题，通过学生自己的发现，找到本题的多种证法，既复习三角形全等的基本知识，又通过联想间接地复习了相似三角形和锐角三角比的知识，并加深了知识间的联系，深化了学生的复习效果，并通过比较让学生寻找适合自己的解题方法和解题思路。二.数形结合构建一题多解图4广泛地运用图形自身的特点，直接地、形象地揭示题目中的数量关系，引导学生从不同的角度、不同的侧面去观察、捕捉一题多解的“影踪”，促使学生有所发现，有所创造，从而发现问题的实质。例题2：如图4，已知中，，,点是边上任意一点，∥，，求与之间的函数关系式并写出函数的定义域。解法一：，而，，，（），所以说明：利用部分与整体之间的关系，间接求出y与x之间的函数关系式，是比较常用的一种解题方法和解题思路，应该在教学中加以引导。解法二：，利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，即，直接求出，其他解法同解法一。说明：这种解法与解法一类似，不过在解决问题时能够看到问题的本质，所以就更加简洁，更容易被学生接受。解法三：直接利用，由，得,由，得，代入即得之间的函数关系式。说明：直接利用三角形的面积公式求解析式也是解决问题的基本思路和途径，但是在求三角形的高时，有的同学会摸不着头脑，甚至功亏一篑，做到一半就放弃了，这样比较可惜，但是也从侧面反映了学生知识掌握的不够灵活，解决问题还需要进一步提高。解法四：利用同高的关系得到，问题迎刃而解。说明：在解决三角形的面积问题时经常会用到“同底（等底）或同高（等高）的两个三角形的面积之比等于对应的高之比（或底之比）”，但是学生在应用时只想到“相似三角形面积之比等于相似比的平方”这个定理，而忽视了以上性质的应用，这在教学中应该引起重视。解法五：类同解法四，利用平行关系得到同高，所以，很快得到之间的函数关系式。说明：尽管本题的解法和解法四类同，但是所用性质不同，解法四是利用同高的两个三角形面积之比的关系，而解法五是利用“平行线