平面向量坐标运算的应用河南郏县一高陈长松467100HYPERLINK"mailto:ccs2005@sohu.com"ccs2005@sohu.com13781880693向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示形式，引入向量的坐标表示后，可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，从而使许多问题的解决转化为我们熟知的数量运算，使问题得以简化．例１．已知Ａ（４，０），Ｂ（４，４），Ｃ（２，６），求ＡＣ和ＯＢ的交点Ｐ的坐标．解：∵Ｐ在ＯＢ上，∴向量与共线∴存在唯一的实数使，即＝（４，４）＝（４，４）又∵Ａ（４，０），Ｃ（２，６），∴∵Ｐ在ＡＣ上，∴与共线∴解得，∴＝（３，３）即Ｐ点坐标为（３，３）评注：本题还可以由适合直线ＡＣ的向量方程解出，利用坐标关系判断图形位置是用向量观点解决问题的基本手段之一．例２．如图1，已知正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（１，０），（５，３），求C点的坐标．Ｃ解：过Ｄ、Ｂ作ｘ轴的垂线，垂足分别为Ｍ、Ｎ，由ABCD是正方形可知，故可证≌，ＭＡ＝３，ＤＭ＝４，即点Ｄ的坐标为（－２，４），ｙ设Ｃ（ｘ，ｙ），则，ＤＢ∵，∴解得，ＮＭβＡｘＯ故点Ｃ（２，７）图１评注：本题还可通过求得C点坐标，解决本题的关键在于把握好相等向量或向量加减法的坐标表示，与图形表示之间的关系，运用“数形结合”的思想转化问题．例３．已知O是内一点，=a，=b，=c，且│a│=2，│b│=1，│c│=3，试用a、b表示c．解：如图２所示，以O为原点，为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得：Ｂ（cos1500,sin1500）,C（3cos2400,3sin2400）,即：Ｂ（），Ｃ（），又∵Ａ（２，０）ｙ∴ａ＝（２，０），ｂ＝（），ｃ＝（）设ｃ＝ａ＋ｂ（）ｘＢＡＯ则（）＝（２，０）＋（）图２Ｃ＝（）∴∴∴ｃ＝－３ａ－３ｂ评注：通过建立坐标系，确定向量的坐标对向量进行分解，从而简化了运算．