第三章直接证明与间接证明综合法的应用点评分析法的应用点评反证法的应用点评【变式练习3】求证：三条抛物线y＝cx2＋2ax＋b，y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a(a、b、c为非零实数)中至少有一条与x轴有交点．【证明】假设三条抛物线都与x轴均无交点，则方程cx2＋2ax＋b＝0的判别式Δ1＝4a2－4bc＜0.同理，Δ2＝4b2－4ac＜0，Δ3＝4c2－4ab＜0，则Δ1＋Δ2＋Δ3＝4a2＋4b2＋4c2－4ab－4bc－4ac＜0，所以2(a－b)2＋2(b－c)2＋2(c－a)2＜0，这与2(a－b)2＋2(b－c)2＋2(c－a)2≥0相矛盾，故假设不成立．所以三条抛物线中至少有一条与x轴有交点．1.已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1<a<0，则p是q的_________________【解析】由Δ＝4a2＋4a<0，可得－1<a<0.{a|0≤a≤4}3.将a千克白糖加水配制成b千克糖水(b>a>0)，其浓度为_________；若再加入m(m>0)千克糖，糖水更甜了，根据这一生活常识，提炼出一个常见的不等式为_____________4.证明：a2＋ab与b2＋ab(其中a，b∈R)中至少有一个是非负数．1．在数学问题解决过程中，不可能离开数学的证明．求解数学题，每个步骤的实施，都离不开证明的因素，所以证明是包含在推理过程之中的．证明一般分直接证明与间接证明两种．直接证明是从已知或事实出发，遵照一定的逻辑程序推出问题的结论的一种证明方法，它主要有综合法和分析法两种．综合法是由已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，它的一般步骤是(已知)p0p1p2…pn(结论)．分析法正好与综合法的思维顺序相反，即先假设结论是正确的，由此逐步推出保证结论成立的必要判断，当这些判断恰好都是已知命题(正确的命题或关系)时，所要研究的问题就得到证明，它的一般步骤是(结论)pn…p2p1(已知)．3．反证法的证明步骤：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真：由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．其中归谬是反证法的关键也是难点，导出矛盾的过程没有固定模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水、无本之木，同时注意推理必须严谨．4．常用反证法的题型：(1)用直接证法证明比较困难的一些几何问题，尤其是证两条直线是异面直线与唯一性问题，常采用反证法；(2)关于否定性问题的证明一般都使用反证法加以证明；(3)命题中含有“至多”“至少”“不多于”或“最多”等词语的命题的证明，一般用反证法．答案：－4<m<2选题感悟：不等式恒成立是一种常考题，解决方法一般是分析得出使不等式恒成立的条件，将问题转化为求函数的最值．2．(2010·盐城市第三次调研卷)若a，b，c>0，且a2＋ab＋ac＋bc＝4，则2a＋b＋c的最小值为________．答案：4选题感悟：基本不等式是C级要求，但很多时候要对条件或结论变形以后应用，需要认真体会．3．(2010·扬州期末卷)已知数列{an}，an＝pn＋λqn(p>0，q>0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N*)．(1)求证：数列{an＋1－pan}为等比数列；(2)数列{an}中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由．(2)取数列{an}的连续三项an，an＋1，an+2(n≥1，n∈N*)．因为an+12－anan＋2＝(pn＋1＋λqn＋1)2－(pn＋λqn)(pn＋2＋λqn＋2)＝－λpnqn(p－q)2，而p>0，q>0，p≠q，λ≠0，所以－λpnqn(p－q)2≠0，所以an+12≠anan＋2，所以数列{an}中不存在连续三项构成等比数列．选题感悟：数学证明方法的选择是由具体的数学问题决定的，高考试题常以综合法处理为主．