第2讲直接证明与间接证明A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·中山调研)设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋1≤1；若“4ab≤1”，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不成立；则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必要条件．答案A2．(2013·金华十校联考)对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中真命题是()．A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m，n与α所成的角相等，则m∥n解析对于平面α和共面的直线m，n，真命题是“若m⊂α，n∥α，则m∥n”．答案C3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()．A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C.eq\f(a＋b2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.答案D4．(2013·四平二模)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()．A．②③B．①②③C．③D．③④⑤解析若a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________________________．解析“至少有n个”的否定是“最多有n－1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除．答案a，b中没有一个能被5整除6．设a>b>0，m＝eq\r(a)－eq\r(b)，n＝eq\r(a－b)，则m，n的大小关系是________．解析取a＝2，b＝1，得m<n.再用分析法证明：eq\r(a)－eq\r(b)<eq\r(a－b)⇐eq\r(a)<eq\r(b)＋eq\r(a－b)⇐a<b＋2eq\r(b)·eq\r(a－b)＋a－b⇐2eq\r(b)·eq\r(a－b)>0，显然成立．答案m<n三、解答题(共25分)7．(12分)若a，b，c是不全相等的正数，求证：lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)＞lga＋lgb＋lgc.证明∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)＞0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)＞0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)＞0.又a，b，c是不全相等的正数，故上述三个不等式中等号不能同时成立．∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2)＞abc成立．上式两边同时取常用对数，得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(c＋a,2)))＞lg(abc)，∴lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)＞lga＋lgb＋lgc.8．(13分)(2013·鹤岗模拟)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列{Sn}是等比数列，则Seq\o\al(2,2)＝S1S3，即aeq\o\al(2,1)(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾