向量的数量积中的高考链接韩文美江苏省张家港职业教育中心校（邮编：215600）平面向量的数量积是高中数学中向量部分知识的重要概念之一，它的概念比较特别，性质比较多，运用非常广泛，可以在不同的知识点当中加以应用，来用来处理一些相关问题．所以学好平面向量的数量积是这部分的重要内容之一．向量的数量积，从公式的形的角度看，a·b=|a||b|cosθ的几何意义是其中一个向量的长度乘以另一个向量在其方向上的射影；从公式的数的角度看，若设a=（x1，y1），b=（x1，y1），则有a·b=x1x2+y1y2．在高考中，平向量的数量积是考查的重点之一，下面结合2009年的高考真题加以链接．1．长度的求解问题例1．（2009年高考全国卷Ⅱ文）已知向量a=（2，1），a·b=10，|a+b|=5，则|b|=（）A．B．C．5D．25分析：通过平面向量的线性运算，结合平面向量的数量积，通过转化求解对应的向量的长度问题．解析：由于|a|=，而a·b=10，|a+b|=5，则|a+b|2=（a+b）2=a2+2a·b+b2=5+2×10+|b|2=50，所以|b|=5，故选择答案：C．评注：关键考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积运算等，往往把有关平面向量的长度问题转化为平面向量的线性运算与数量积的运算问题，再加以分析求解．变形练习1：（2009年高考辽宁卷文、理）平面向量a与b的夹角为60º，a=（2，0），|b|=1，则|a+2b|=（）A．B．2C．4D．12答案：由a=（2，0）得|a|=2，那么|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=22+4|a|·|b|cos60º+4×12=12，则|a+2b|=2，故选择答案：B．2．垂直的判断问题例2．（2009年高考宁夏海南卷文）已知a=（－3，2），b=（－1，0），向量λa+b与a－2b垂直，则实数λ的值为（）A．－B．C．－D．分析：结合简单的向量运算，运用两平面向量垂直的条件加以判断相应的参数问题．解析：由于向量λa+b=（－3λ－1，2λ），a－2b=（－1，2），而（λa+b）⊥（a－2b），∴（λa+b）·（a－2b）=（－3λ－1）×（－1）+2λ×2=0，即7λ+1=0，∴λ=－，故选择答案：A．评注：关键是正确运用两平面向量垂直的条件，通过建立有关数与式的关系式达到求解相关问题的目的．变形练习2：（2009年高考江西卷文）已知向量a=（3，1），b=（1，3），c=（k，2），若（a－c）⊥b，则k=______．答案：由于a－c=（3－k，－1），而（a－c）⊥b，则（a－c）·b=（3－k）×1+（－1）×3=0，解得k=0，则故填答案：0．3．最值的求解问题例3．（2009年高考全国卷Ⅰ理）设a、b、c是单位向量，且a·b=0，则（a－c）·（b－c）的最小值为（）A．－2B．－2C．－1D．1－分析：根据题目中的关系式，转化为向量的数量积问题，结合三角函数值的取值情况综合判断对应向量的数量积的最值问题．解析：由于a、b、c是单位向量，且a·b=0，那么有|a+b|2=a2+2a·b+b2=2，即|a+b|=，则（a－c）·（b－c）=a·b－（a+b）·c+c2=1－|a+b|·|c|cos<a+b，c>=1－cos<a+b，c>≥1－，故选择答案：D．评注：主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题．考查形式中，填空、选择题旨在考查数量积的概念、运算律、性质等，向量平行、垂直关系，向量的夹角、距离公式等；解答题多为与圆、直线、三角等交汇的综合题．变形练习3：（2009年高考安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120º．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是________．答案：设∠AOC=α，则有，即，∴x+y=2[cosα+cos（120º－α）]=cosα+sinα=2sin（α+）≤2，故填答案：2．利用平面向量数量积，在解题时往往可以收到化繁为简、化难为易的效果．对于数量积，可以用来解决相关的夹角问题、垂直问题、平行问题、判断三角形形状问题、长度求解问题、参数取值问题、大小比较问题等相关问题，很好达到向量丰富的实际背景，通过数量积可使许多问题进一步量化，为数学研究和应用提供了一个十分有效的工具．作者：韩文美单位：江苏省张家港职业教育中心校邮编：215600邮寄地址：江苏省张家港市杨舍镇云盘一村37幢404室电话：0512—56809068（小灵通），15962341521（手机）E—mail：hwm215600@163.com