·34·中学数学月刊2006年第1期利用空间向量证明线面平行黄育红(江苏省南通西藏民族中学226011)立体几何是高考的重点，每年高考大题C1(0，0，4)，B(0，4，O)，B1(0，4，4)，必有立几题，但是不少学生学习立几感到有D(要，2，0)，一(一3，0，4)，商一困难．难在哪里?作不出辅助线，推理不清．对于我校的藏族学生来说，学好立几更觉困难．(要，2，o)，商1一(o，4，4)．笔者尝试了用空间向量方法执教，发现学生设平面CDB的法向量万一(z，Y，)，由在求线线、线面、面面的夹角和距离时正确率·面一0，得要z+2y一0，由·一0，明显提高，在证明线面垂直、平行，面面垂直问题时，更是易如反掌，减轻了学生学习立几得4+4z一0．令一1，得Y一一1，z一÷，的困难．故万一(要，一1，1)．直线与平面所成角的向量公式：设直线a的方向向量和平面a的法向量分别为1，，，l，设AC与面CDB的夹角为，则sin0一直线口与平面口所成的角为，则有sin一丁下一：pC与面回，∈[0'如果直线与平面所成角为0，且直线不CDB的夹角为0，又AC面CDB，．．．AC在此平面内，那么直线与平面平行．∥面CDB．例1(2005年北京高考题)如图1，在(I)(Ⅲ)略．直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB一5，AC一3，例2(2004年浙江高考题)如图2，已BC一4，一4，点D是AB的中点，知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面(I)求证：互相垂直，AB—j-2，AF=1，M是线段EFCJ_BC1；的中点．(Ⅱ)求证：(I)求证AM／／平面BDE；AC／／平面(Ⅱ)求证AMJ_平面BDF；CDB1；(Ⅲ)求二面角A—DF—B的大小．(Ⅲ)求异解(I)以C面直线AC与为原点，分别以图1Bc所成角的余CD，CB，CE所在弦值．直线为z轴、Y轴、解(Ⅱ)由直三棱柱ABC—ABC中，轴建立空间直角坐C一3，BC一4，AB一5，知C，BC，CC1两标系C—z，则劢两垂直．一如图1，以C为坐标原点，直线CA，CB，c一孚，一图2CC分别为z轴、Y轴、轴建立空间直角坐标孚魔=(一’0，1)，一系C—xyz，则C(O，0，0)，A(3，0，0)，(一／，，O)．2006年第1期中学数学月刊·35·设平面BDE的法向量：(z，y，)，一0，即AM与面BDE夹角为0，又AM(z=面由·魂一0，得一z+一0，BDE，嵌AM力平面BDE．(Ⅱ)(Ⅲ)略．由·斑一0，得一z+y一0．令运用直线与平面所成角的向量公式证明z一1，得Y一1，一，故一(1，1，线面平行，实现了几何问题代数化，即将复杂)．的几何证明转化为代数运算，从而避免了几设AM与面BDE夹角为，则sin一何作图，减少了逻辑推理，降低了难度．劢．I一—2—一盟——II2+十~，z。I．而———■—一用线性规划方法创新解题几例苗建成(甘肃省高台县第一中学734300)，●●●●●，、●●●●●●【简单的线性规划知识是试验教材新增建立以口6／内容，不仅为传统的高中数学注入了新鲜的为横轴，b为纵＼+++’l，血液，还给学生提供了数学建模、“用数学”轴的直角坐标的意识和实践机会．在重点理解基本概念的系，作出可行基础上，用图解法解决平面区域、整数点、最域，如图1所示，7Q、、、口值和最优化决策的实际问题是常见的重要题设可行域内动＼＼I+口+26：l型，这充分体现了数学的工具性、应用性．若点M(a，6)，则2+a+h=O用线性规划相关知识解决其它一些问题，不}表示动点图1仅渗透了化归、数形结合的数学思想，还可产M和定点C(1，2)连线的斜率，即后一生解法灵活的创新解法．b-2由图知：后髓<后<kAC所以1<．1二次方程(或函数)问题口一例1实系数方程z+口z+2b一0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小等<1，故选A．2三角形问题．于2，则的取值范围是()．例2已知△ABC的边长口，b，C满足b(A)(_1，1)(B)(÷，1)+c≤2a，c+口≤2b，求的取值范围．(c)(一，{)(D)(一号，丢)分析依据题意得<b2a，分析利用二次方程根的分布，将此题<C2b，转化为线性规划问题可巧妙解之．<口解设(z)一z+口z+2b，由题意得>0，>Of(o)>o，f6>o，(1)<0，1+口+2b<0，不妨令z一鲁，．)，一詈，则上述不等式组可转【(2)>0【2+口+b>0．化为在约束条件