中学数学?-?,,>年第-期构造函数!"#$%"#&’$"#&($"#&)$解题*+,,-+湖南师范大学数学与计算机科学学院羊明亮沈文选三元不等式问题是国内外各层次数学竞则5.6.8Q+1赛的难点与热点之一.而其处理更以/入口令3"+$%"5?&+$"6?&+$"8?&+$1宽方法巧见长为寻求解题规律探索解题.01.N:;N9;N9:一方面3"+$%77%N>1途径.笔者搜集了部分国内外有关三元不等9?:?;?另一方面式问题的试题.深入研究.发现许多问题均可3"+$%"5=+$"6=+$"8=+$7以采用构造函数23"4$%"4&5$"4&6$7"5&+$"6&+$"8&+$@加以巧妙地解决下面举例加以说5=6=8=>5=6=8&>"4&8$.1"$>"$>.即有明1>>例设为非负实数且满足5=6=8=>5=6=8&>+9.:.;.N@7.>>9<:<;.9=:=;%>.求证2???A整理即为O9=N:;O:=N:;9:?=:;?=;9?@1==-9:"B中等数学C+DD-年第+期数学奥林匹O;?=N9:<>ON=+1克问题初E+题$;例在中三边满足证明由题意可知9<+.;@+.R"+$STUV.9.:.;求证???从而+&9@,.+&;<,19=:=;%?.29=:=;=?9:;G?W年匈牙利数学奥林匹克试题令3"+$%"+&9$"+&:$"+&;$1"+DD,$设是三角形的三边之长且一方面2当:@+时.3"+$@,F"?$9.:.;.9>???+当+G:@时."+&9$"+&:$"+&;$@=:=;%+.求证29=:=;=*9:;GW??9=:&?+"第?>届全苏数学竞赛题$"9&+$":&+$@"$?@.?*">$STUV的三边9.:.;满足9=:=;也就是说+3"+$@1求证???A*%+.2P"9=:=;$=+-9:;<W另一方面>"B数学通讯C竞赛之窗+DD?年第++期问+3"+$%"+&9$"+&:$"+&;$%7题>+$>我们先证明下面一般性的结论H"9:?=:;?=;9?$="9?:=:?;=;?9$&EI12设是的三边之长记J%9:?=:;?=;9?.9.:.;STUV.且满足K%9?:=:?;=;?9.9=:=;%N"NQ,$.则+>*N?J&K%"9&:$":&;$";&9$@,则N?@9?=:?=;?=9:;G"X$"由于9<:<;$.即J@K1?AN?N??A所以?J@J=K%>3"+$=E以及G9:=:;=;9&9:;@N?"XX$*N?A+?A@>L=E%.证明令NNN**3"$%"&9$"&:$7????A故J%9:?=:;?=;9?@1N-"&;$.将式子右边展开并注意到9=:=;?例M对正实数9.:.;.N.求证2N+N%N.则有3"$%&N>=H"9:=:;=O9?=N:;O:?=N9;O;?=N9:?-?==<9:;?;9$&9:;I1中等数学数学奥林匹克高中训N>ON=+1"BC由于三角形中任意两边之和大于第三练题"P-$第五大题的推广$边所以N于是N故?.,G9.:.;G.3"$Q,.O9=N:;??证明设%5.9?N?9:=:;=;9&9:;Q1O:?=N9;O;?=N9:N*%6.%8.:;在上式中考虑到9=:=;%N.中学数学"??3年第;期X"&’"在,8-式中*分别令’."*’.5即可得即有!"#$"#%"#!$%()’"到问题,5-,"-所要证明的结论9’’’在式中令则有另一方面*+,-.,/!-,/$-0,8-*’.5*"""533’!"#$"#%"#&!$%:*/,!#$#%-"7’"353,/%-124.’*5;"3"56所以!"#$"#%"#!$%<化简整理得"7"!$#$%#%!/!$%1’)53"’"7:/!$%同样考虑到!#$#%.’*"7<53"!#$#%753&:/,-3.*则有’"1!"#$"#%"#!$%)"7<35<"7’753&’"整理即得<,!"#$"#%3-#5;!$%:*此综上’"1!"#$"#%"#!$%(*3"7’"即为问题,3-所要证明的结论)’""7以及(!$#$%#%!/!$%1’"成立)收稿日期&’"7,>"??3?&";-===========================================三角形旁切圆切点的一个性质"77"??山东省枣庄市第四十中学李耀文"77"5?山东省枣庄市第四十五中学张冲定理设的旁切圆@ABCDE!FDE$F5分别切于点过BI.