抽象函数解题方法函数是高中数学的核心内容，它对于学生掌握双基和发展能力具有十分重要的意义。通常所说的函数，一般都具有解析式、图表等某种具体的表现形式，但是有一类函数只给出了函数所满足的一部分性质或运算法则，而没有明确的表现形式，这类函数我们通常称之为抽象函数。抽象函数作为初等数学和近代数学的衔接点，既能体现数学的本质特征、近现代数学发展的威力，又能体现新课标对知识和技能考核的要求和高考的能力命意，必将受到人们的重视。以下介绍几种解决抽象函数问题的方法，力求使抽象函数问题的解法有“章”可循。一、赋值法赋值法的基本思路是：将所给函数的性质转化为条件等式，在条件等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需条件或发现某些性质，其中f（0）、f（1）是常常起桥梁作用的重要条件。例１设函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对于任意正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立。若已知f（2）=1，试求：（１）f（1/2）的值；（２）f（2-n）的值，其中n为正整数。思路：合理赋值，化抽象为具体，发现递推规律。解：（１）令ｘ＝ｙ＝１，则f（1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0再令x=2，y=1/2，则f（1）=f（2）+f（1/2）∴f（1/2）=－f（2）=－1（２）由于f（2-2）=f（1/2）+f（1/2）=－2，f（2-3）=f（1/2）+f（1/2）+f（1/2）=－3，依此类推就有f（2-n）=－n，其中n为正整数。二、利用函数单调性解抽象函数不等式，要设法将它转化成显性的不等式求解．这需要具备两个条件：一是要把不等式化为f(□)＞f(△)的形式，二是要判断函数的单调性。再根据函数的单调性，将抽象函数不等式的符号＂f＂去掉，得到具体的不等式求解．例2若f(x)是定义在（0，+∞）上的减函数，且对一切a，b∈（0，+∞），都有f(a/b)=f(a)－f(b)，且f(4)=1，试解不等式f(x+6)－f(1/x)＞2．思路：逆用函数单调性，将不等式中的函数关系转化为自变量之间的关系．解：因为f(a/b)=f(a)－f(b)，且f(4)=1，所以f(x+6)－f(1/x)＞2,则f(x+6)－f(1/x)＞2f(4),则有f(x2+6x)－f(4)＞f(4),故f[(x2+6x)/4]＞f(4)．由于f(x)是（0，+∞）上的减函数，因此由1/x＞0,x+6＞0,(x2+6x)/4＜4同时成立解得0＜x＜2，故原不等式的解集是(0，2)．三、利用函数的对称性例3设函数y=f（x）对一切实数x都满足f（x+3）=f（3－x）且方程f（x）=0恰好有6个不同的实根，这6个根的和为（）A.18B.12C.9D.0解：由命题１知，y=f（x）的图象关于x=3对称，故6个根的和为18，故选A。四、利用函数的周期性关于函数的周期性，首先要弄清楚三种符号形式：（1）若f（x+a）=f（x+b）恒成立，则函数为周期函数，周期为T=|b－a|，（2）若f(a+x)=f(b－x)恒成立，则函数的图象关于直线x=（a+b）/2对称。（3）若定义在R上的函数ｙ＝f(x）的图象关于两直线x=ａ和x=ｂ（a＞b）对称，则函数ｙ＝f(x）以2（a-b）为周期．特别的，若定义在Ｒ上的偶函数的图象关于直线x=a(a≠0)对称，则ｙ＝f(x）以2｜a｜为周期。（4）若定义在R上的函数ｙ＝f(x），值域是函数g(x)的定义域的子集，且满足f（x+a）＝g［f（x）］，g（ｘ）＝ｇ－１（ｘ），则f(x）以2a为周期。以上这四个结论可以快速认识函数具有周期性还是轴对称性，并且对这两者之间的转换要能够熟练运用。例4设f(x)是定义在R的偶函数，其图象关于直线x=1对称，证明f(x)是周期函数。分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转换轴对称方程，进一步和函数的周期性联系上。由题设条件f(x)开始，依据周期函数的定义，只需推出f(x)=f(x+T)即可。证明：因为y=f(x)图象关于直线x=1对称，所以f(－x)=f[2－(－x)]=f(2+x)因为是偶函数，所以f(x)=f(－x)=f(2+x)故是周期函数，并且周期T=2。五、寻找抽象函数的原型法在抽象函数问题中.我们可以通过一些具体的模型.以具体函数代替抽象函数,通过具体函数模型的有关性质和研究方法,去推测抽象函数的性质或解题思路,就能实现思维上的突破，尤其是高中阶段，对一些问题适当的形式化，抽象化，可以迅速的解决问题。以下是几类常用的抽象函数的模型,要熟悉并能运用。1、f(x)+f(y)=f(xy),模型是对数函数2、f(x+y)=f(x)f(y)，模型是指数函数3、f(x)f(y)=f(xy)，模型是幂函数4、f(x+y)=f(x)+f(y)，模型是y=kx５、f(x)+f(y)＝f(x+y)＋ｂ，模