例1检验某种激素对羊羔增重的效应。选用3个剂量进行试验，加上对照（不用激素）在内，每次试验要用4只羊羔，若进行4次重复，则共需要16只羊羔。研究激素用量对羊羔增重的影响是否显著。在方差分析中，通常取1-3个因素进行研究。因素的每一个状态称为一个水平，水平可以是数量化的，也可以是定性的。例1为单因素四水平试验。也就是四个总体的比较问题。本例中有一因素(激素,记为A)四个不同水平(分别记为A1,A2,A3,A4)。可认为一个激素水平的增重量就是一个总体，在方差分析中总假定各总体独立地服从同方差的正态分布，即第j个激素水平的增重量是一个随机变量，它服从分布N(j,2)i=1,2,3,4.要检验假设1.单因素方差分析一般地，设单因素试验中，因素A有k个水平(总体)，记为A1，A2，…，Ak，相应的响应值（试验结果）X1，X2，…，Xk是k个相互独立的总体，且Xj~N(j,2)（j=1,2,…,k）。今对第j个总体进行nj次重复观测，得到nj个观测数据xij（i=1,2,…,nj），这可以看成是取自Xj的一个容量为nj的样本。这里，并不要求n1,n2,…,nk完全相同。观测数据及计算列表如下。单因素方差分析数据及计算表由于xij~N(j,2)，所以假定xij具有下述数据结构式：引起诸xij波动的原因有两个：一个是假设H0为真时，xij的波动纯粹是随机性引起的；另一个可能是假设不真而引起的。因而我们就想用一个量来刻划诸xij之间的波动，并把引起波动的上述两个原因从中分离出来，用另外两个量表示出来，通过比较这两个量来检验H0的真实性。记总离差平方和:当H0为真时，单因素方差分析表设在某试验中，有二个因素A、B在变动。因素A取m个不同水平A1，A2，…，Am，因素B取r个不同水平B1，B2，…，Br，在(Ai,Bj)水平组合下的试验结果独立地服从N(ij,2)分布。观测数据及计算表见教材表9.8。数学模型为例3将土质基本相同的一块耕地分成均等的五个地块，每块又分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分种在四个区上，每小区的播种量相同，测得收获量如下表（单位：公斤），试以显著性水平1=0.05,2=0.01考察品种和地块对收获量的影响是否显著。一、双因素无重复试验的方差分析因素A的偏差平方和在H01，H02为真时例3将土质基本相同的一块耕地分成均等的五个地块，每块又分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分种在四个区上，每小区的播种量相同，测得收获量如下表（单位：公斤），试以显著性水平α1=0.05,α2=0.01考察品种和地块对收获量的影响是否显著。二、双因素等重复试验的方差分析将总的离差平方和分解：对给定的显著性水平α，例4在某化工生产中为了提高收率，选了三种不同浓度，四种不同温度做试验。在同一浓度与温度组合下各做两次试验，其收率数据如下面计算表所列（数据均已减去75）。试在α=0.05显著性水平下检验不同浓度、不同温度以及它们间的交互作用对收率有无显著影响。解经计算的方差分析表