第二章线性系统的系统的运动分析第一节状态方程唯一解的存在条件对于这样的一个系统对上述给定系统，已知t0时刻的初始状态x0以及属于容许输入函数集中的输入u（t），那么在t时刻的状态应该是由初始状态和容许输入唯一确定的：定义：状态从初始点运动到x(t)点的过程称为状态转移，并且把称为状态转移函数一旦确定了初始点x0，那么把已知的输入函数u(t)带入状态转移函数中就能确定新的状态，所以说状态转移函数在整个时间区域上描述了系统的动态行为，把它称为系统动态行为的全描述，而状态方程只描述了时间领域内某一点上的动态行为，或者说描述了t时刻系统状态转移的趋势，所以又把状态方程称作是系统动态行为的点描述。结论：状态转移函数表示了系统状态在状态空间中随着时间的变化而走出的运动轨迹，而状态方程描述的正是轨迹随时间变化的速率。例：一维运动轨迹如图所示将状态方程转化成积分方程的形式：由微分方程理论可知，保证上式有唯一解的充分条件就是函数F(x(t),t)满足Lipschitz条件，即存在一正数K，使得：在线性系统中，状态方程中A(t)x+B(t)u代替了函数f(x,t,u)，其解的存在形态及唯一性都是由系统的参数矩阵A(t)和B(t)来决定的，解的存在唯一条件叙述如下：结论2：状态方程的解x(t)是存在且唯一的充分条件是:第二节线性系统的运动规律自由运动（无输入即u=0）就是系统在初始条件x0下的解，用来表示，并称其为零输入响应则系统由初始状态和输入共同作用而引起的整个响应（上节中提到的状态转移函数）是二者的叠加：一状态转移矩阵定义2：假设表示齐次方程的任一基本解阵，这个解阵是以该方程的n个线性无关解为列所构成的。那么对任何来讲肯定都是非奇异的，则线性时变系统的状态转移矩阵就可以表示为：状态转移矩阵的重要性质：（4）当A(t)给定后，是唯一的。（5)当A(t)给定后，的表达式为：线性时变系统状态转移矩阵的获得举例：给定线性时变系统：首先写出u＝0时的状态齐次方程：任取两个不同的初始状态利用定义2可以写出系统的状态转移矩阵二、线性时变系统的运动规律假设状态x(t)由两部分组成，一部分是初始状态的转移（代表自由运动），另一部分是待定向量的转移，（代表受迫运动）求导可得：将上式积分，就可以求出待定向量根据初始条件x0，就可以定出待定向量的初始位置为，则系统运动规律表达式为：此外还需要指出的是一旦确定了系统的状态转移矩阵，就可以通过系统的运动方程计算得到系统的状态运动轨迹。但是在一般情况下，状态转移矩阵是很难求出的，所以上述公式的意义并不在于计算系统的运动轨迹，而是在于系统理论研究。在实际中，由初始状态x0和控制输入u所引起的系统运动的计算通常采用数值方法来解决，并且已经有了专门的计算机求解程序。举例：给定线性时变系统：利用状态转移矩阵和运动规律表达式可得：三．线性定常系统的运动分析通过定常系统的状态转移矩阵就可以写出相应的运动规律：1和时变系统一样，系统的运动被分解成两个分运动，其中一项是初始状态的转移项，另外一项是控制输入作用下的受控项，正是由于受控项的存在，才使得工程人员能够通过选取适当的控制输入u，使得系统的状态运动轨线x（t）满足期望的要求。这一思想也正是我们分析系统的结构特性，并对系统进行综合控制的基本依据。2如果将时间t取成某个固定的值，那么零输入响应，就是状态空间中由初始状态x0经过线性变换导出的一个变换点，而整个系统的自由运动就应该是由初始状态x0出发，并由各个时刻的变换点所组成的一条轨迹。这条自由运动轨迹的形态可以说是由状态转移矩阵唯一确定的，它包括了自由运动性质的全部信息，换句话说就是系统矩阵A决定了系统的自由运动形态。3另外一个与系统自由运动有关的一个性质就是稳定性，从自由运动轨线的定义看出线性定常系统为渐近稳定的充分必要条件是从矩阵A的特性来看，只有A的特征值都具有负实部，也就是位于左半开复平面上，上式成立，系统是渐近稳定的。在线性定常系统中，状态转移矩阵又称作是矩阵指数函数，首先根据状态转移矩阵的特性5，可以写出的表达式：1性质：2几种典型约当形矩阵A的（3)A是具有如下形式的幂零矩阵，矩阵A仅右上方次对角线上元为1，其余元均为零：则它的矩阵指数函数为：注：（4）矩阵，可将该矩阵进行分解：因为A1和A2是可交换矩阵，则根据性质4可得（5）（6）3.的计算方法（2）利用典型约当形矩阵的矩阵指数函数例如：A阵特征值是n个两两相异的，那么必存在一个非奇异变换矩阵P，使得那么举例：(3)把表示成Ak（k＝0,1,…,n－1）的多项式形式，即Case1.A的特征根两两相异Case2.A的特征根存在重根（5）利用Laplace反变换求，对定义式进行Laplace变换得：求，首先进行部分分式展开，然后再对每个展开分式作La