自动控制原理电子教案第6章线性系统的能控性和能观性分析6.1系统能控性和能观性问题能控性、能观性和稳定性一样，是控制系统的重要性质，是实现各种控制和状态估计的基础，在控制理论中起着核心的作用。系统的状态空间描述可用图6.1表示。yu状态方程x输出方程x&=Ax+Buy=Cx图6.1状态空间描述采用状态反馈可以实现各种控制，例如最优控制，如图6.2所示。yu状态方程x输出方程x&=Ax+Buy=Cx控制器图6.2状态反馈控制最优控制问题的任务是寻求控制作用u(t)=kx(t)，使状态x(t)达到预期的状态。但首要的问题是,系统的能控性问题。另一方面，实际系统的状态x(t)通常是难以测量的，往往需要从可以测量的输出y(t)中估计出来，如图6.3所示。yu状态方程x输出方程x&=Ax+Buy=Cxˆ控制器x状态估计器图6.3采用状态估计器的状态反馈控制状态估计的任务就是设计状态估计器，从输出y(t)中估计出状态x(t)，以实现状态反馈。但首要的问题是系统的能观测性问题。如图6.4所示RC网络。浙江工业大学自动化研究所1自动控制原理电子教案R1=1ΩR2=1ΩC1=1FC2=1F⎯⎯→⎯⎯→yiu1u2R3=2Ω图6.4RC网络可取两个电容上的电压u1,u2作为状态变量，u2是不能控的。u1是能控的。另一方面，输出y=2i−u2只与u2和i有关，而与u1无关，所以，u1是不能观的，而u2是能观的。下面介绍能控性、能观性的严格定义及其判别准则。浙江工业大学自动化研究所2自动控制原理电子教案6.2线性定常系统的能控性6.2.1能控性的定义1.连续系统的能控性定义：对于线性（定常、时变）系统x&(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)，若对状态空间中的任意状态x(t0)和另一状态x(t)，存在一个有1x2P1限的时间(t0,t1)和一个分段连续输入u(t)，能在P内使状态转移到，则称此状态是能P(t0,t1)x(t0)x(t1)2控的，否则称为不能控的。若系统所有状态都是能控x1的，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控0Pn的。上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。如图6.5相平面图6.5所示。可见，系统中某一状态的能控和系统的状态完全能控在含义上是不同的。2.离散系统能控性离散系统能控性定义与连续系统能控性定义类似，所不同的只是在离散系统中控制信号是离散序列。定义在有限时间区间t∈[0,nT]内，若存在无约束的阶梯控制序列u(0),L,u(n−1)，能使系统从任意初态x(0)转移到任意终态x(n)，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的。不失一般性，一般将能控性定义等价地叙述为下列两种情况。第一种情况：把初始状态规定为状态空间中的任意非零有限点，而终端状态规定为状态空间中的原点，即x(t1)=0，则能控性定义又可叙述为能控性定义：对于线性定常系统x&=Ax+Bu，如果存在一个分段连续输入u(t)，能在有限时间区间(t0,t1)内，将系统从任一初始状态x(t0)转移到零态x(t1)=0，则称系统是状态能控的。第二种情况：把初始状态规定为状态空间中的原点x(t0)=0，而终端状态规定为任意非零有限点，为区别于第一种情况，这种情况通常称为系统的能达性。能达性定义：对于线性定常系统x&=Ax+Bu，若存在一个分段连续的输入u(t)能在有限时间区间(t0,t1)内，将状态x(t)从零状态x(t0)=0转移到任一指定的状态空间中的终端状态x(t1)，则称系统是能达的。可以证明，对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的。不失一般性，以后对能控性的讨论中均规定终端状态为状态原点。浙江工业大学自动化研究所3自动控制原理电子教案6.2.2能控性判别准则能控性判别准则：线性定常（连续、离散）系统{A,B}状态完全能控的充分必要条件是，由A，B构成的能控性判别矩阵Sc满秩。即2n−1rankSc=rank[BABABLAB]=n(6.1)其中，n是系统的维数。例6.1判别下列系统的能控性。⎡−122⎤⎡0⎤⎢⎥⎢⎥x&=⎢0−20⎥x+⎢0⎥u⎣⎢13−3⎦⎥⎣⎢1⎦⎥⎡02−8⎤解S=BABA2B=⎢000⎥c[]⎢⎥⎣⎢1−311⎦⎥rankSc=2<n=3所以，系统不（完全）能控。例6.2判别下列系统的能控性。⎡010⎤⎡0⎤⎢⎥⎢⎥x&=⎢001⎥x+⎢0⎥u⎣⎢−6−11−6⎦⎥⎣⎢1⎦⎥⎡001⎤解S