第一章函数与极限分析基础函数—研究对象极限—研究方法连续—研究桥梁第一章第一节映射与函数一、集合二、映射三、函数目录上页下页返回结束一、集合1.定义及表示法简称集集集合.定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合组成集合的事物称为元素元素.元素简称元元不含任何元素的集合称为空集,记作?.空集元素a属于集合M,记作a∈M.元素a不属于集合M,记作a∈M(或a?M).注:M为数集*表示M中排除0的集;MM+表示M中排除0与负数的集.目录上页下页返回结束表示法：表示法(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.自然数集N={0,1,2,L,n,L}={n}nA={a1,a2,L,an}={ai}i=1例:有限集合(2)描述法：={xx所具有的特征M例:整数集合Z={xx∈N或?x∈N+}??p+有理数集Q=?p∈Z,q∈N,p与q互质???q实数集合R={xx为有理数或无理数}开区间(a,b)={xa<x<b}闭区间[a,b]={xa≤x≤b}目录上页下页返回结束}半开区间无限区间a?δaa+δ点的δ邻域去心δ邻域其中,a称为邻域中心,δ称为邻域半径.左δ邻域:右δ邻域:目录上页下页返回结束()2.集合之间的关系及运算定义2定义.设有集合A,B,若x∈A必有x∈B,则称A是B的子集,或称B包含A,记作A?B.子集若例如,且,则称A与B相等记作A=B.相等,,?显然有下列关系:目录上页下页返回结束定义3.给定两个集合A,B,定义下列运算:并集AUB={x交集AIB={x差集余集直积或且且x?B}}}AUBBAA\BAIBA\B={xcBA=A\B(其中B?A)A×B={(x,y)x∈A,y∈B}记AcBAByBA×BA下页返回结束特例:R×RR2为平面上的全体点集目录O上页x二、映射引例1.引例某校学生的集合按一定规则查号学号的集合某班学生的集合按一定规则入座某教室座位的集合目录上页下页返回结束引例2.引例引例3.引例(点集)(点集)向y轴投影目录上页下页返回结束定义4.设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规定义则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射记作f:X→Y.映射,映射XfY元素y称为元素x在映射f下的像,记作y=f(x).像元素x称为元素y在映射f下的原像.原像集合X称为映射f的定义域;定义域Y的子集Rf=f(X)={f(x)x∈X}称为f的值域.注意:注意1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.目录上页下页返回结束对映射满射;满射若f(X)=Y,则称f为满射引例2,引例3X若fY=f(X)有X则称f为单射单射;单射引例2引例Y若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射一一映射.双射一一映射引例2引例目录上页下页返回结束例1.海伦公式(满射满射)满射例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射满射)满射r例3.如图所示,则有(满射满射)满射目录上页下页返回结束三、函数1.函数的概念定义5.定义设数集D?R,则称映射D上的函数,记为因变量定义域自变量为定义在y=f(x),x∈DyRf=f(D)={yy=f(x),x∈D}y称为值域函数图形:函数图形C={(x,y)y=f(x),x∈D?D×f(D)}Oaxb(D=[a,b])目录上页下页返回结束x?x∈D(定义域)fy∈Rf=f(D)={yy=f(x),x∈D}(值域)(对应规则)?定义域使表达式或实际问题有意义的自变量集合.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；π对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域.?对应规律对应规律的表示方法:解析法、图像法、列表法?1例如,反正弦主值定义域又如,绝对值函数定义域值域目录上页下页y2O1x值域?π2返回结束?2x,0≤x≤1例4.已知函数y=f(x)=??1+x,x>1写出f(x)的定义域及值域,并求f(1)及f(1).t2解:f(x)的定义域D=[0,+∞)值域yy=2xy=1+xf(D)=[0,+∞)12f(1)=22=2O1x11+,0<t<1tf(1)=t2,t≥1t目录上页下页返回结束