1.2.2-2函数的解析法及映射要点精析【知识梳理】1.函数的解析法是函数的重要表示方法之一，而解析式是其重要表现形式，注意定义域的书写.2.映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“”.【难点释疑】一、根据函数解析式求值1、求分段函数的函数值是要注意自变量的范围，代入到相应的解析式中.2、在一个式子中，x的取值要保持一致.如若f(x+1)=2x2+1，则f(x+2)=2(x+1)2+1=2x2+4x+3，即式子中的x都用x+1替代；f(3)=2×22+1=9，即式子中的x都用2替代.一、求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．二、根据已知条件求解析式1、换元法；2、配凑法；3、待定系数法；4.实际问题中函数的解析式.例1已知f(x+2)=x2+3x+3，求f(x)的解析式.解法一、换元法令t=x+2，则x=t-2，故f(t)=(t-2)2+3(t-2)+3=t2-t+1∴f(x)=x2+x+1点评：只要经过换元x能被t表示出来，均可以使用换元法.解法二、配凑法∵f(x+2)=(x+2)2-x-1=(x+2)2-(x+2)+1∴f(x)=x2+x+1点评：配凑法的思想就是在f(x+2)的表达式中的x都以(x+2)的形式出现.解法三、待定系数法由已知得f(x)是二次函数，不妨设f(x)=ax2+bx+c，则f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c=ax2+(4a+b)x+4a2+2b+c又因为f(x+2)=x2+3x+3，所以，解得∴f(x)=x2+x+1例2动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，求f(x)的解析式.解：如图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由Rt△ABD可得PA=;当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA=;当P点在DA上运动时，PA=4－x,故f(x)的表达式为：f(x)=点评：求解实际问题中函数的解析式时注意定义域的书写.三、关于函数的映射1.判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.2.映射的性质（1）任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；（2）有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；（4）唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；（5）封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.3.映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可.4.函数与映射的关系：函数是映射的一种特殊情况，函数要求两个集合都是非空数集，而映射没有这个规定.【拓展延伸】1.若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x).例已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式为_________.解析：由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3.由上面两式联立消去f()可得f(x)=－x.2.若集合A，B都是有限集，且card(A)=m，card(B)=n，则满足f:A→B的映射个数是nm个.