例谈不等式证明不等式证明是不等式的重点和难点，其方法灵活多变，不拘一格，对学生的思维的灵活性和发散性帮助很大，下面我通过一道习题的讲解，让大家体会不等式证明方法的灵活与多变，启发学生思维。题目：已知a，b∈R，且a+b=1.求证：分析一：作差比较法：作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.证法一：即（当且仅当时，取等号）.分析二：分析法是由结果出发，逐步寻求使上一步成立的充分条件，最后与已知、定理、恒成立的结论统一。用分析法论证“若A到B”这个命题的模式是：欲证命题B为真，只需证命题B1为真，只需证命题B2为真，……只需证命题A为真，今已知A真，故B必真．证法二：（分析法）点评：分析法是基本的数学方法，基本思想是”由果索引”，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.分析三：综合法是由已知出发，经过逐步推理，得到结论的方法。分析四：放缩法是对原式进行适当的放大或缩小，进行证明的方法。（放缩法）∵∴左边＝＝右边.点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式.另证：（放缩法）∵点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式分析五：反证法假设，则.由a+b=1，得，于是有.所以，这与矛盾.所以.点评：反证法的优势在于证明含有“至少一个”“至多一个”等正面不易证明的命题，本题的反证法并没有多大优势，但不失为一种证法。分析六：（均值换元法）∵，所以可设，，∴左边＝＝右边.当且仅当t=0时，等号成立.点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元.分析七：构造法（利用一元二次方程根的判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即.故.分析八：柯西不等式有柯西不等式得：分析九：构造法（构造二次函数）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，由二次函数的值域得：分析十：三角换元法（构造三角公式，利用三角函数的有界性）设：，因为所以：分析十一：几何法（构造点到直线的距离公式）设直线l：显然：直线l过原点O(0,0),那么，P(1,1)点到直线l的距离为=如图：分析十二：几何法（直线外一点到直线上所有点的距离中，垂线段最短）设x=a+2,y=b+2,则x+y=5设P（x，y）为直线x+y=5上任意一点，d为原点O到直线x+y=5的距离。则d=因为分析十三：向量法（两个向量的模之积不小于其数量积）所谓处处留心皆学问，希望大家从此题的证法中领悟证明不等式的思维方法，从中得到启迪。