内江师范学院数学与信息科学学院第2章数值积分一、考核知识点内插求积公式，代数精度，梯形公式、辛卜生公式、复化梯形公式和复化辛卜生公式及其余项．二、考核要求1．了解内插求积公式及其性质，掌握内插求积公式的计算方法；2．理解代数精度的概念，掌握内插求积公式代数精度的计算方法；3．熟练掌握梯形、复化梯形公式、辛卜生、复化辛卜生公式及其余项，熟练掌握运用它们计算定积分的近似值．三、例题分析例1在区间[−1,1]上，求以x1=−1,x2=0,x3=1为节点的内插求积公式．解：由系数计算公式得1x(x−1)11(x+1)(x−1)4A0=dx=,A1=dx=,∫−1−(−1−1)3∫−1(0+1)(0−1)31x(x+1)1A2=dx=∫−1(1+1)31141所以求积公式为f()xdx≈f(−1)+f(0)+f(1)∫−13332141例2求数值积分公式f()xdx≈f(0)+f(1)+f(2)的代数精确度．∫0333解由于此公式为3个节点的内插求积公式，代数精度至少为2．令f()x=x3，代入内插求积公式得221左边=x3dx=x4=4，∫040141而右边=(0)3+13+23=4333所以左边=右边．再令f()x=x4，代入内插求积公式得232左边=x4dx=，∫05内江师范学院数学与信息科学学院14120右边=04+14+24=3333所以左边≠右边．所以此公式具有3次代数精度．1dx例3用梯形公式和n=4的复化梯形公式求积分，并估计误差．∫01+x解（1）梯形公式1因为a=0,b=1，f()x=，代入梯形公式得x+1111111则dx≈[f(0)+f(1)]=[+]=0.75∫0x+1220+11+1（2）复化梯形公式b−a1因为h==和复化梯形公式得44111113dx≈[f(0)+2(f()(+f)(+f))+f(1)]∫0x+1842414441=[1+2×(++)+]≈0.6978567212因为f()x=，f′′()x=，M2=maxf′′(x)=2x+1(1+x)30≤x≤1()b−a321所以R()f=f′′(3)≤=12n212×1696注意：在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算积分时注意系数的排列．1dx例4用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算积分，使误差小于10−3∫01+x解（1）辛卜生公式1因为a=0,b=1，f()x=，代入辛卜生公式得x+11dx1⎡1⎤1111≈f(0)+4f()+f(1)=[+4+]=0.6944∫01+x6⎢2⎥60+111+1⎣⎦+12（2）复化辛卜生公式内江师范学院数学与信息科学学院(4)24因为M4=maxf(x)==240≤x≤1(1+x)5M51解不等式R（）f≤4b−a=<10−32880m4120m41得m≥2，用m=2,n=4,n=，复化辛卜生公式计算得41dx1⎡131⎤≈f(0)+4f()+4f()+2f()+f(1)∫01+x12⎣⎢442⎦⎥1⎡131⎤=f(0)+4f()+4f()+2f()+f(1)12⎣⎢442⎦⎥≈0.69325