第八章平面向量一、基础知识定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m定义2方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x,y，使得c=xa+yb，其中a,b称为一组基底。定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x,y，使得c=xi+yi，则（x,y）叫做c坐标。定义4向量的数量积，若非零向量a,b的夹角为，则a,b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a,b>，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4平面向量的坐标运算：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，1．a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)，2λa=(λx1,λy1),a·(b+c)=a·b+a·c，3．a·b=x1x2+y1y2,cos(a,b)=(a,b0),4.a//bx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0.定义5若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1,y1),(x,y),(x2,y2)，则定义6设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x,y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。定理5对于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),|a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【证明】因|a|2·|b|2-|a·b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1,x2,…,xn)，b=(y1,y2,…,yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。2）对于任意n个向量，a1,a2,…,an，有|a1,a2,…,an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。二、方向与例题1．向量定义和运算法则的运用。例1设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：例2给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是例3在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。2．证利用定理2证明共线。例4△ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线w.w.w.k.s.5.u.c.o.m，且OG：GH=1：2。3．利用数量积证明垂直。例5给定非零向量a,b.求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.例6已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OECD。4．向量的坐标运算。例7已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。三、基础训练题1．以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a,b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m,y=n；⑤若，且a,b共线，则A，B，C，D共线；