第二章控制系统的数学模型二类描述：1.IOD特点：外部描述，不完全描述2.SSD特点：内部描述，完全描述【动态模型】定义：描述自控系统动态特性的数学描述常用模型微分方程、传递函数、动态结构图建模原则反应系统本质特性、简单、减少分析计算量建立控制系统数学模型的方法有：分析法:对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。2.实验法:人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。§2-1控制系统的时域数学模型该二阶线性微分方程为RLC无源网络的数学模型。线性系统的运动方程：输出变量的各阶导数降幂排列在方程左侧输入变量的各阶导数降幂排列在方程右侧例2-2，图为电枢控制直流电动机，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速ωm（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。电枢回路电压平衡方程：电磁转距方程：电动机轴上的转距平衡方程：在工程应用中，电枢电路电感La较小，通常忽略不计，方程可以进行简化电动机机电时间常数（s）例2-3，弹簧－质量－阻尼器的机械位移系统【控制系统微分方程的建立】写出组成系统各元件的微分方程消去中间变量，得到输入输出变量间的微分方程注意：信号传递的单向性，前一级的输出作为后一级的输入后一级对前一级的负载效应【线性系统的特性】【线性定常微分方程的求解】建模的一个目的就是定量研究系统的特性。已知输入量和初始条件就可以根据微分方程求解出输出量。求解微分方程：【非线性微分方程的线性化】非线性控制系统（nonlinear）：系统中存在非线性特性的组成环节或元件。特点：不具有叠加性和均匀性方程的特点：系数与变量有关，变量及导数的高次幂或乘积项。非本质非线性：输入输出关系曲线没有间断点和折断点，呈单值关系。当系统变量变化范围不大时，可将非线性方程近似处理为线性方程，即“线性化”，小偏差法（增量法）是常用的线性化方法。一、假设：x、y在平衡点（x0，y0）附近作增量变化，即x=x0+Δxy=y0+Δy二、近似处理：在平衡点（x0，y0）处，以曲线的切线代替曲线，得到近似式：这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。多变量非线性函数的线性化增量方程：y=f(x1，x2)【运动的模态】线性微分方程的解＝特解+通解通解由微分方程的特征根决定n阶微分方程的特征根为λ1，λ2….λn且无重根，