第页共NUMPAGES10页专题五：图形与证明一、考点综述考点内容：了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义；掌握平行线的性质定理和判定定理；全等和相似三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等相似的判定定理；掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理；掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理；掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理；与圆有关的性质和定理.考纲要求：1.基本概念、三角形、四边形与特殊四边形等知识是推理论证的对象，要求能进行较严格的推理证明；题目以“证明”形式存在；2.圆中的切线要求会证明；4.会用相似形或全等的知识证明或求解线段与角度的计算问题.5.会用解直角三角形的知识求解实际问题.6.能用圆心角、圆周角换算与计算，能求解弧长与扇形面积；会求圆柱与圆锥的表面积；能解决圆与解直角三角形的结合问题.7.能用反证法证明简单的文字问题.二、例题精析例1．如图1，已知点在的边上，交于，交于．（1）求证：；（2）若平分，试判断四边形的形状，并说明理由．解题思路：本题主要考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握．证明：（1）∵，∴，同理．∵，∴，∴．（2）若平分，四边形是菱形．∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴平行四边形为菱形．规律总结：三角形全等及平行四边形的性质都可以证明两线段相等，此类题起点低，注重基础知识及基本技能的考查，考查了同学们最基本的几何推理证明能力．例2．如图2，是⊙O的直径，是⊙O上一点，过圆心作，为垂足，是上一点，是的中点，的延长线交于．（1）图中线段、所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程；（2）猜想线段三者之间有怎样的数量关系？写出你的结论，并给出证明过程．解题思路：平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，先通过观察图形可猜想OD∥BC，再利用圆的有关概念及性质得证．解：（1）结论：．证明：∵是⊙O的直径，是⊙O上一点，∴，即BC⊥AC．又OD⊥AC，∴OD∥BC．（2）结论：．证明：∵OD⊥AC，∴AD=DC．又O为AB的中点，∴OD是△ABC的中位线．∴BC=2OD．在△ODG与△EFG中，∵DG=EG，∠GOD=∠GFE，∠ODG=∠FEG，∴．∴OD=EF．∴．∴．规律总结：为了使同学们对推理论证的必要性有更深刻的理解，新课程中的逻辑推理常在探究、猜想的前提下进行．本题就采用了这种方式．该题主要考查了直径与圆周角、垂直于弦的直径等概念之间的联系．例3．如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．（1）求证：△APC∽△COD．（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．解题思路：运用圆的切线的性质、三角形的相似的判定和性质解析：（1）∵是⊙O的直径，CD是⊙O的切线∠PAC＝∠OCD＝90°，显然△DOA≌△DOC∴∠DOA＝∠DOC∴∠APC＝∠COD（2）由，得，（3）若是一个等边三角形，则于是，可得，故，当时，是一个等边三角形规律总结：认真审题，根据题目所给的条件充分利用图形的性质及判定。例4．如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?EDCBA(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.解题思路：代数知识与几何知识结合在一起，在直角三角形中利用勾股定理，注意运用两点之间线段最短。解析:(1)(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小FEDCBA(3)如下图所示,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连结AE交BD于点C.AE的长即为代数式的最小值.过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF,则AB=DF=2,AF=BD=8.所以AE==13即的最小值为13.规律总结：用代数的方法来解决几何问题，是我们常用的方法，在没有给出未知量的情况下，巧妙的设未知数。ABCDFEM例5．如图，为直角，点为线段的中点，点是射线上的一个动点（不与点重合），连结，作，垂足为，连结，过点作，交于．（1）求证：；（2）在什么范围内变化时，四边形是梯形，并说明理