双曲线的几何性质灵宝三高：何娟琴教材分析《双曲线的几何性质》这节课选自人教A版普通高中课程标准实验教科中数学选修2—1的第2.3.2节，双曲线是解析几何圆锥曲线的基本内容，介于椭圆与抛物线之间，起到了一个承前启后的作用。本节课是学生在已掌握双曲线的定义和标准方程的基础上，通过标准方程来研究其几何性质。《平面解析几何》教学参考书中明确指出：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质并正确作图，是解析几何的基本问题之一，也可以说是解析几何的目的。因此，本节的内容在《圆锥曲线》这一章中，是非常重要的，它是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质，为学生进一步学习数学、物理、化学等打下良好基础。二、教学目标根据教学大纲的要求及教材内容的设置，结合本班学生的具体情况，确定如下教学目标：1、知识和技能使学生了解并掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质；能根据双曲线方程求出双曲线的顶点坐标、实虚轴长、渐近线方程及离心率的大小；使学生能根据双曲线的渐近线，确定双曲线的范围与走向，并能据此画出双曲线的草图；了解离心率和双曲线形状间的变化关系。2、过程与方法（1）通过与椭圆的几何性质进行行类比，让学生在讨论、归纳的过程中培养其观察问题、研究问题、解决问题的能力；（2）通过信息技术的演示，培养学生直观感受的能力；（3）培养学生数形结合能力，进一步掌握利用方程研究曲线的基本方法。3、情感、态度与价值观培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心，使学生逐步形成良好的思维品质。三、教学重难点1、教学重点：掌握双曲线的几何性质，并灵活运用，进一步理解坐标法。2、教学难点：渐近线的理解、掌握。四、教法分析1.在教学过程中，教师是主导，学生是主体。只有精心设计“导”的过程才能充分发挥他的主观能动性及在教学过程中的主体地位。学生情况是教学的重要依据。由于数学学科比较枯燥，学生对数学学习缺乏兴趣，再加上我们班的学生基础不太好，因此在教学中激发学生的兴趣，发挥他们的主观能动性是非常重要的。针对这种情况结合学生的认知规律我采用了类比、启发、引导、探究相结合的教学方法，启发、引导学生积极思考、回忆旧知识，探求新知识，使学生产生浓厚的学习兴趣，体现学生的主体地位。2、采用多媒体手段，目的是增大教学的容量和增强直观性，提高教学效率和质量。3、所用到的教具有：三角板、多媒体硬件。五．学法指导采用先由学生看书，然后在教师引导下发现、归纳出双曲线几何性质，（突出学生“”课堂主体”的作用），使学生“学”有所“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”，学生会逐步感受到数学的美，产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。六、教学过程1、情景设置问题1：双曲线的定义、标准方程是什么？问题2：椭圆有哪些几何性质？通过这两个问题，打开学生原有的认知结构，为知识的创新做好了准备，同时也让学生领会了双曲线与椭圆之间的相互联系，明确本课的目的。2、类比联想问题3：怎样根据方程研究性质，前面有无遇到过此类问题？比如，在学习椭圆的时候。从而引起学生对椭圆几何性质的回顾。通过启发引导，让学生研究讨论自己完成以下表格：性质双曲线椭圆⑴范围-a≤x≤a,-b≤y≤b⑵对称性对称轴：x轴,y轴对称中心：原点O⑶顶点四个：A1,A2(±a,0)B1,B2(0.±b)长轴：线段A1A2短轴：线段B1B2⑷离心率e=c/a0<e<1e变大，椭圆变扁⑸渐近线表格完成后适当提问学生是如何由方程得到上述结果的。3设置悬念，突破重点、难点问题4：离心率e的变化会引起双曲线的形状（即“开口”大小）如何变化？分析不出来离心率是如何影响双曲线的形状即“开口”大小的？那么学生自然会提出这样的疑问：双曲线“开口”大小究竟依据谁，如何来确定？从而老师顺水推舟的提出下面问题：问题5：让学生画出双曲线，在位于第一象限的曲线上画上一点M，测量点M的横坐标以及他到直线的距离d.沿曲线向右上角拖动点M，观察与d的大小关系？（课件展示）通过观察，学生很容易发现随着的逐渐增大，d逐渐变小，但是永远不等于0。这是，老师过双曲线的两个顶点作y轴的平行线过作X轴平行线，四条线围成一个矩形。学生们很快会发现直线就是这个矩形的一条对角线。由于这条对角线和双曲线无限接近但永不相交，故将这条直线叫做双曲线的渐近线。提问：矩形的另一条对角线是否也有这样的特点？（易得）从而得出双曲线有两条渐近线。然后让学生寻求的渐近线方程，易得。问题6：双曲线的“张口”大小与渐近线有何关系？学生易得:渐近线斜率越大，双曲线的“张口”越大。