第二章2.42.4.2【基础练习】1．平面向量a＝(1，－2)，b＝(－2，x)，若a⊥b，则x＝()A．－1B．1C．－4D．4【答案】A【解析】∵平面向量a＝(1，－2)，b＝(－2，x)，a⊥b，∴a·b＝－2－2x＝0，解得x＝－1.故选A．2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为()A．eq\r(13)B．eq\f(\r(13),5)C．eq\f(\r(65),5)D．eq\r(65)【答案】C【解析】∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝eq\r(13)，|b|＝eq\r(65).∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\r(5),5).∴a在b上的射影为|a|cosθ＝eq\r(13)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(\r(65),5).3．(2019年福建厦门模拟)已知a＝(1,1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，则|b|＝()A．0B．1C．eq\r(2)D．2【答案】D【解析】a＝(1,1)，b＝(2，m)，则a－b＝(－1,1－m)，由a⊥(a－b)，可得a·(a－b)＝－1＋1－m＝0，解得m＝0，所以b＝(2,0)，|b|＝2.故选D．4．(2019年安徽淮北模拟)已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))D．(－2,2)【答案】B【解析】若a与b的夹角为钝角，则a·b<0且a，b不平行．由a·b＝－2λ－1<0，得λ>－eq\f(1,2).若a，b平行，则－2＋λ＝0，即λ＝2.综上，可得λ>－eq\f(1,2)且λ≠2.故选B．5．(2018年山东临沂二模)已知向量a＝(3，－2m)，b＝(m＋1,2)，c＝(－2,1)，若(a－c)⊥b，则实数m＝________.【答案】－3【解析】∵向量a＝(3，－2m)，b＝(m＋1,2)，c＝(－2,1)，∴a－c＝(5，－2m－1)．∵(a－c)⊥b，∴(a－c)·b＝5m＋5－4m－2＝0，解得m＝－3.6．a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________.【答案】44【解析】∵a＝(－4,3)，∴2|a|2＝2×(eq\r(－42＋32))2＝50，a·b＝－4×1＋3×2＝2.∴2|a|2－3a·b＝50－3×2＝44.7．已知向量a＝(3，－4)，b＝(2，x)，c＝(2，y)且a∥b，a⊥c.求：(1)x，y的值；(2)|b－c|的值．【解析】(1)∵向量a＝(3，－4)，b＝(2，x)，c＝(2，y)，又a∥b，∴3x＋8＝0，解得x＝－eq\f(8,3).∵a⊥c，∴6－4y＝0，解得y＝eq\f(3,2).(2)由(1)得b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(8,3)))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，∴|b－c|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－2，－\f(8,3)－\f(3,2)))))＝eq\f(25,6).8．已知a＝(1,2)，b＝(x,1)．(1)若(2a＋b)∥(a－b)，求x的值；(2)若2a＋b与a－b的夹角是锐角，求x的取值范围．【解析】(1)由题意可得，2a＋b＝(2＋x,5)，a－b＝(1－x,1)，若(2a＋b)∥(a－b)，则有(2＋x)×1－(1－x)×5＝0，解得x＝eq\f(1,2).(2)由题意可得(2a＋b)·(a－b)＝(2＋x,5)·(1－x,1)＝－x2－x＋7＞0，可得eq\f(－1－\r(29),2)＜x＜eq\f(－1＋\r(29),2).再由2a＋b与a－b不共线，可得x≠eq\f(1,2).综上，x的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－\r(29),2)，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(－1＋\r