第八篇空间点直线平面之间的位置关系2、空间中两直线得位置关系(3)平行公理和等角定理①平行公理:平行于___________得两条直线互相平行、②等角定理:空间中如果两个角得两边分别对应平行,那么这两个角___________、(1)直线与平面得位置关系有_____、_____、________三种情况、(2)平面与平面得位置关系有_____、_____两种情况、一个理解异面直线概念得理解(1)“不同在任何一个平面内”,指这两条直线不能确定任何一个平面,因此,异面直线既不相交,也不平行、(2)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内得两条直线为异面直线、两种判定方法异面直线得判定方法(1)判定定理:过平面外一点与平面内一点得直线,和平面内不经过该点得直线就是异面直线、(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两直线异面、A、空间中不同三点确定一个平面B、空间中两两相交得三条直线确定一个平面C、一条直线和一个点能确定一个平面D、梯形一定就是平面图形解析空间中不共线得三点确定一个平面,A错;空间中两两相交不交于一点得三条直线确定一个平面,B错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C错;故D正确、答案DA、异面B、相交C、平行D、异面或相交答案DA、0B、1C、0或1D、1或3答案DA、60°B、120°C、30°D、60°或120°解析由等角定理可知β＝60°或120°、答案D5、如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体得十二条棱中共有异面直线________对、【例1】►如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别就是AB和AA1得中点、求证:(1)E、C、D1、F四点共面;(2)CE、D1F、DA三线共点、9证明(1)如图,连接EF,CD1,A1B、∵E、F分别就是AB、AA1得中点,∴EF∥A1B、又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E、C、D1、F四点共面、(2)∵EF∥CD1,EF＜CD1,∴CE与D1F必相交,设交点为P,则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD、同理P∈平面ADD1A1、又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA,∴P∈直线DA,∴CE、D1F、DA三线共点、(1)证明点或线共面问题,一般有两种途径:①首先由所给条件中得部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余得线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合、(2)证明点共线问题,一般有两种途径:①先由两点确定一条直线,再证其她各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上、(3)证明线共点问题,常用得方法就是:先证其中两条直线交于一点,再证其她直线经过该点、【训练1】下列如图所示就是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别就是所在棱得中点,则四个点共面得图形就是________、解析可证①中得四边形PQRS为梯形;②中,如图所示,取A1A和BC得中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形,且PMQNRS为正六边形;③中,可证四边形PQRS为平行四边形;④中,可证Q点所在棱与面PRS平行,因此,P、Q、R、S四点不共面、答案①②③①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直、以上四个命题中,正确命题得序号就是________、[审题视点]还原成正四面体来判断、解析如图所示,GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN、答案②③④空间中两直线位置关系得判定,主要就是异面、平行和垂直得判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线得性质、平行公理及线面平行与面面平行得性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直得性质来解决、【训练2】在图中,G、H、M、N分别就是正三棱柱得顶点或所在棱得中点,则表示直线GH、MN就是异面直线得图形有________(填上所有正确答案得序号)、解析图①中,直线GH∥MN;图②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,连接MG,GM∥HN因此GH与MN共面;图④中,G、M、N共面,但H∉面GMN,因此GH与MN异面、所以图②、④中GH与MN异面、答案②④【例3】►如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,(1)求A1C1与B1C所成角得大小;(2)若E、F分别为AB、AD得中点,求A1C1与EF所成角得大小、解(1)如图,连接AC、AB1,由ABCD－A1B1C1D1就是正方体,知AA1C1C为平行四边形,所以AC∥A1C1,从而B1C与AC所成得角就