课后素养落实(九)充要条件(建议用时：40分钟)一、选择题1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由A∩B＝A可知A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C．]2.已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A⊆B”是“a＞5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[因为|x|≤4⇔－4≤x≤4，所以A＝{x|－4≤x≤4}．又A⊆B，所以a≥4，故选B．]3．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A．ab＝0B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞0D[a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D．]4.“xy≥0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[|x＋y|＝|x|＋|y|⇔|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2⇔xy＝|x|·|y|⇔xy≥0.]5．设P，Q是非空集合，甲为P∩Q＝P∪Q；乙为：P⊆Q，那么甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[P∩Q＝P∪Q⇒P＝Q⇒P⊆Q，当PQ时，P∩Q≠P∪Q，所以P⊆QP∩Q＝P∪Q，所以甲是乙的充分不必要条件．]二、填空题6．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”，这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．则“有毛”是“有皮”的________条件．(将正确的序号填在横线上)①充分条件；②必要条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．①[由题意知，“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件，故填①.]7．若p：x－3<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．{m|m＞3}[由x－3<0得x<3，由2x－3<m得x<eq\f(1,2)(m＋3)，由p是q的充分不必要条件知{x|x<3}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)m＋3))))，所以eq\f(1,2)(m＋3)＞3，解得m＞3.]8.设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为________．甲乙丙丁乙[对于图甲，开关S1闭合灯泡L亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合，∴A是B的充分不必要条件．对于图乙，只有一个开关，灯如果要亮，开关S1必须闭合，∴A是B的充要条件．对于图丙，∵灯亮必须S1和S2同时闭合，∴A是B的必要不充分条件．对于图丁，灯一直亮，跟开关没有关系，∴A是B的既不充分也不必要条件．]三、解答题9．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解]①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；若方程有两个负的实根，则必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＞0，,－\f(1,a)＜0，,Δ＝1－4a≥0))⇒0＜a≤eq\f(1,4).综上，若方程至少有一个负实根，则a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，则方程至少有一个负实根．因此关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一负实根的充要条件是a≤eq\f(1,4).10．设p：实数x满足a＜x＜4a(a＞0)，q：实数x满足2＜x≤5.若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．[解]因为q是p的充分不必要条件，所以q对应的集合是p对应集合的真子集，所以(2,5](a,4a)，其中a＞0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,4a＞5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,a＞\f(5,4)，))得eq\f(5,4)＜a≤2，即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)).1．(多选题)对任意实数a，b，c，下列命题中正确的是()A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件D．“a＜5”是“a＜3”的