习题三图的矩阵表示-烟台大学（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）习题三:图的矩阵表示1．求出图7-3.9中有向图的邻接矩阵A，找出从到长度为2和4的路，用计算和来验证这结论。2．对于邻接矩阵的简单有向图，它的距离矩阵定义如下：如果对所有的1，2，…，这里是使的最小正整数确定由图7-3.9所示的有向图的距离矩阵，并指出是什么意义？3．在图7-3.10中给出了一个有向图，试给出该图的邻接矩阵，并求出可达性矩阵和距离矩阵。4．写出如图7-3.11所示的图的完全关联矩阵，并验证其秩如定理7-3.2所述。5．证明定理7-3.2的推论。图7-3.9图7-3.10图7-3.11AECDBF6．设连通简单图有个结点（或称为顶点），条边，定义矩阵，，分别如下：（1）（2）（3）证明：。其中为结点的次数（或称度数），为矩阵的转置。7．图的结点数为，连通分支数为，求的完全关联矩阵的秩，并给出证明。8．给定图，设，，其中是关联于结点，的边，称交替序列为联结到的长为的路，求完全图中任两点间长为的路的数目。图的矩阵表示图是用三重组定义的，可以用图形表示。此外，还可以用矩阵表示。使用矩阵表示图，有利于用代数的方法研究图的性质，也有利于使用计算机对图进行处理。矩阵是研究图的重要工具之一。本节主要讨论无向图和有向图的邻接矩阵、有向图的可达性矩阵、无向图的连通矩阵、无向图和有向图的完全关联矩阵。定义9.4.1设G=V,E是一个简单图，V=v1,v2,…,vnA(G=(n×n其中：i,j=1,…,n称A(G为G的邻接矩阵。简记为A。例如图9.22的邻接矩阵为：又如图9.23(a的邻接矩阵为：由定义和以上两个例子容易看出邻接矩阵具有以下性质：①邻接矩阵的元素全是0或1。这样的矩阵叫布尔矩阵。邻接矩阵是布尔矩阵。②无向图的邻接矩阵是对称阵，有向图的邻接矩阵不一定是对称阵。③邻接矩阵与结点在图中标定次序有关。例如图9.23(a的邻接矩阵是A(G，若将图9.23(a中的接点v1和v2的标定次序调换，得到图9.23(b，图9.23(b的邻接矩阵是A′(G。考察A(G和A′(G发现，先将A(G的第一行与第二行对调，再将第一列与第二列对调可得到A′(G。称A′(G与A(G是置换等价的。一般地说，把n阶方阵A的某些行对调，再把相应的列做同样的对调，得到一个新的n阶方阵A′，则称A′与A是置换等价的。可以证明置换等价是n阶布尔方阵集合上的等价关系。虽然，对于同一个图，由于结点的标定次序不同，而得到不同的邻接矩阵，但是这些邻接矩阵是置换等价的。今后略去结点标定次序的任意性，取任意一个邻接矩阵表示该图。④对有向图来说，邻接矩阵A(G的第i行1的个数是vi的出度，第j列1的个数是vj的入度。⑤零图的邻接矩阵的元素全为零，叫做零矩阵。反过来，如果一个图的邻接矩阵是零矩阵，则此图一定是零图。设G=V,E为有向图，V=v1,v2,…,vn，邻接矩阵为A=(aijn×n若aij=1，由邻接矩阵的定义知，vi到vj有一条边，即vi到vj有一条长度为1的路；若aij=0，则vi到vj无边，即vi到vj无长度为1的路。故aij表示从vi到vj长度为1的路的条数。设A2=AA，A2=(n×n，按照矩阵乘法的定义，若aikakj=1，则aik=1且akj=1，vi到vk有边且vk到vj有边，从而vi到vj通过vk有一条长度为2的路；若=0，则aik=0或akj=0，vi到vk无边或vk到vj无边，因而vi到vj通过vk无长度为2的路，k=1,…,n。故表示从vi到vj长度为2的路的条数。设A3=AA2，A3=(n×n，按照矩阵乘法的定义，若≠0，则=1且≠0，vi到vk有边且vk到vj有路，由于是vk到vj长度为2的路的条数，因而表示vi到vj通过vk长度为3的路的条数；若=0,=0或=0，则vi到vk无边或vk到vj无长度为2的路，所以vi到vj通过vk无路，k=1,…,n。故表示从vi到vj长度为3的路的条数。……可以证明，这个结论对无向图也成立。因此有下列定理成立。定理9.4.1设A(G是图G的邻接矩阵，A(Gk=A(GA(Gk-1，A(Gk的第i行，第j列元素等于从vi到vj长度为k的路的条数。其中为vi到自身长度为k的回路数。推论设G=V,E是n阶简单有向图，A是有向图G的邻接矩阵，Bk=A＋A2＋…＋Ak，Bk=(n×n，则是G中由vi到vj长度小于等于k的路的条数。是G中长度小于等于k的路的总条数。是G中长度小于等于k的回路数。【例9.4】设G=V,E为简单有向图，图形如图9.24，写出G的邻接矩阵A，算出A2，A3