[数列知识提要]1．类比等差数列和等比数列，轻松掌握知识。等差数列等比数列定义通项公式函数形式通项公式的推广前n项和公式的两种形式或情况前n项公式的推导方法中项性质m+n=p+r时的性质易错性质、、依然成等差数列、、在时依然成等比数列2．数列是一种特殊的函数，因此数列的图像、单调性、周期性等都是高考的热点。（1）认识数列与函数的关系；例1．若，且是递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．（-2，+）C．D．（-3，+）解析：=，利用二次函数图像知道，当，即时，函数递增，从而选A，但这个答案是错误的。利用图像还可以得到当时，也能推出，故选D如果用导数求解：=，令0可得，从而可能误选B。可以看出离散型函数与一般的连续函数的不同之处。事实上数列是递增数列的充要条件是恒成立，即恒成立，得出正确答案就很简单。补充：已知=，则数列中最大项是第项。解：由->0得<10,∴<<<,>>>…(2)以函数性质为手段，转化数列问题；例2．已知数列的前n项和为，且满足，，=2，求。解：令f(n)=,则，即函数，从而f(x+3)=,故f(x+3)=,因此f(x+6)=f(x),所以函数f(x)是周期为6的函数，易求，可见=7334+=2339.例3．已知函数f(x)=,若数列满足，，n为正整数，则等于（）A.B.C.D.提示：经研究发现从第三项开始周期性变化，且周期为3，=，选D（3）以函数图像为工具，使数列问题直观化；例4．已知等差数列的公差为d，等比数列的公比q>1,若=2，=。①比较与、与的大小；②猜想在n5时，与的大小关系。（不需证明）思路：由图直观看出答案，在解决第②问时可作差比较。（6）构造函数，驾驭数列；例6．已知（n为正整数），则在数列的前50项中，最大项和最小项分别是（）A．与B．与C．与D．与思路：构造函数，可选C。（源于观察，提升理念，引发思考）3．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明an－an-1（n≥2）为常数；（2）利用等差中项，即证明2an=an-1+an+1（n≥2）.问：在否定一个数列是等差数列用什么方法？例5．已知数列的前n项和为。①若，证明数列是等差数列；②若，证明数列不是等差数列。4．无穷等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，{an}为常数列.例6．已知数列的前n项和为，若=12，，。①求公差d的取值范围；②指出、、…、中哪个最大，并说明理由。答案：；5．对递推能力的考查：能否根据递推公式写出通项公式既是考查学生对数列这部分知识是否掌握的试金石，也是考查学生的观察能力、推理能力、判断能力的重要手段。例7．已知数列中，=2，（），求数列的通项公式。略解：依题=1…可得题型一：=+q例8.已知=1，，求。题型二：=+例9.已知=5，=，求。思路：由待定系数法可得(an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n)，即an－3n＝2(－2)n－1故an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n题型三：，+=0例10.已知数列{an}满足==5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，求。思路：由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1)(n≥2)题型四：=例11.已知满足=1，=，求。答案：=6．加深对课本知识的理解，夯实基础部分。例12．等差数列、的前n项和分别是和，若，则=。答案：例13．设f(x)=,利用课本推导等差数列前n项和公式的方法求f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值。答案：7.执果索因，无惧放缩；例14.设奇函数对任意都有求和的值；数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；设与为两个给定的不同的正整数，是满足（2）中条件的数列，证明：.解：（1），且是奇函数，故因为所以令，得，即．（2）设又,两式相加．所以故又．故数列是等差数列．（3）要证：即∵即，从而又恒成立，所以有恒成立即训练题1.若一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求这个数列的前110项的和。2.若数列满足=1，且=，求其前n项的和。3.设等比数列的前n项和为，若+=2，求数列的公比q.4.求和：6．(1)求证：<e<;(2)求证：++…+<ln2009<1++…+.7.(1)已知数列{}的前n项和为，求证：<2.(2)已知=n(n+2),求证：++…+<.8．